设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right) ， \quad \beta=\left(\begin{array}{l}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\boldsymbol{\beta} \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.