单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $0$
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ，$K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
$P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) ，$ 则 $A=(\quad)$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的 3 个线性无关的解， $k_1, k_2$ 为任意常数，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{C.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_3-\eta_1\right)+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)+k_3\left(\eta_3-\eta_1\right)$
设 $F_1(x) ， F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布， $X_1, X_2$ ， $\cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 $T_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, T_2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_i+\frac{1}{n} X_n$ ，有
$\text{A.}$ $E T_1>E T_2, D T_1>D T_2$
$\text{B.}$ $E T_1>E T_2, D T_1 < D T_2$
$\text{C.}$ $E T_1 < E T_2, D T_1>D T_2$
$\text{D.}$ $E T_1 < E T_2, D T_1 < D T_2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} x(1+3 t)^{\frac{x}{t}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
设函数 $z=\left(1+\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$
曲线 $\tan \left(x+y+\frac{\pi}{4}\right)=e^y$ 在点 $(0,0)$ 处切线方程为
曲线 $y=\sqrt{x^2-1}$ ，直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 的秩为 1， $A$ 中各行元素之和为 3 ，则 $f$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为 $\qquad$ .
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu: \sigma^2, \sigma^2: 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^2\right)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}$
已知函数 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数， $f(1,1)=2$ 是 $f(u, v)$ 的极值， $z=f[x+y, f(x, y)]$ ，求 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$.
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
证明方程 $4 \arctan x-x+\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}=0$ 恰有两个实根.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 有连续导数， $f(0)=1$ ，且满足
$$
\iint_{D_t} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_t} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $D_t=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq t-x, 0 \leq x \leq t\}(0 < t \leq 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设向量组 $\alpha_1=(1,0,1)^T ， \alpha_2=(0,1,1)^T ， \alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组
$$
\beta_1=(1,1,1)^T, \quad \beta_2=(1,2,3)^T, \beta_3=(3,4, a)^T
$$
线性表示。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
设 $A$ 为三阶实对称矩阵， $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，且
$$
A\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$.
(1) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $Z=X Y$ 的概率分布.
(3) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 由 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。
(1) 求 $X$ 概率密度 $f_X(x)$ ； (2) 求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$.