2002年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2002年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (u)

可导，

y = f (x^{2})

当自变量

x

在

x = - 1

处取得增量

Δ x = - 0.1

时，相应的函数增量

Δ y

的线性主部为 0.1 ，则

f^{'} (1) =

A.

-1

B.

0.1

C.

D.

0.5

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2. 设函数

f (x)

连续，则下列函数中，必为偶函数的是

A.

\int_{0}^{x} f (t^{2}) d t

B.

\int_{0}^{x} f^{2} (t) d t

C.

\int_{0}^{x} t [f (t) - f (- t)] d t

D.

\int_{0}^{x} t [f (t) + f (- t)] d t

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3. 设

y = y (x)

是二阶常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条件

y (0) = y^{'} (0) = 0

的特解, 则当

x \to 0

时，函数

\frac{\ln (1 + x^{2})}{y (x)}

的极限

A.

不存在

B.

等于 1

C.

等于 2

D.

等于 3

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4. 设函数

y = f (x)

在

(0, + \infty)

内有界且可导，则

A.

当

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

时，必有

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

B.

当

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在时，必有

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

C.

当

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0

时，必有

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 0

D.

当

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x)

存在时，必有

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 0

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5. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，向量

β_{1}

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，向量

β_{2}

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表出，则对于任意常数

k

，必有

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性无关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, k β_{1} + β_{2}

线性相关

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性无关

D.

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} + k β_{2}

线性相关

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}, & x > 0 \\ a e^{2 x}, & x \leq 0 \end{cases}

，在

x = 0

处连续, 则

a =

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7. 位于曲线

y = x e^{- x} (0 \leq x < + \infty)

下方，

x

轴上方的无界图形的面积是

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8. 微分方程

y y^{''} + y^{' 2} = 0

满足初始条件

{y |}_{x = 0} = 1

，

{y^{'} |}_{x = 0} = \frac{1}{2}

的特解是

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lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} [\sqrt{1 + \cos \frac{π}{n}} + \sqrt{1 + \cos \frac{2 π}{n}} + \dots + \sqrt{1 + \cos \frac{n π}{n}}] =

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10. 矩阵

(\begin{array}{ccc} 0 & - 2 & 2 \\ 2 & 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 2 \end{array})

的非零特征值是

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 已知曲线的极坐标方程是

r = 1 - \cos θ

，求该曲线上对应于

θ = \frac{π}{6}

处的切线与法线的直角坐标方程.

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12. 设

f (x) = {\begin{cases} 2 x + \frac{3}{2} x^{2}, & - 1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}

, 求函数

F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t

的表达式.

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13. 已知函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导，

f (x) > 0

，

lim_{x \to + \infty} f (x) = 1

，且满足

lim_{h \to 0} {[\frac{f (x + h x)}{f (x)}]}^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}

, 求

f (x)

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14. 求微分方程

x d y + (x - 2 y) d x = 0

的一个解

y = y (x)

，使得由曲线

y = y (x)

与直线

x = 1, x = 2

以及

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转一周的旋转体体积最小.

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15. 某闸门的形状与大小如下图所示，其中直线

l

为对称轴，闸门的上部为矩形

A B C D

，下部由二次抛物线与线段

A B

所围成. 当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为

5 : 4

, 闸门矩形部分的高

h

应为多少米?

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16. 设

0 \leq x_{1} \leq 3, x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} (3 - x_{n})} (n = 1, 2, \dots)

，证明数列

{x_{n}}

的极限存在，并求此极限.

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17. 设

0 < a < b

，证明不等式

\frac{2 a}{a^{2} + b^{2}} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{a b}} .

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18. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某个领域内有二阶连续导函数，且

f (0) \neq 0, f^{'} (0) \neq 0, f^{''} (0) \neq 0 .

证明: 存在惟一的一组实数

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

，使得当

h \to 0

时，

λ_{1} f (h) + λ_{2} f (2 h) + λ_{3} f (3 h) - f (0)

是比

h^{2}

高阶的无穷小.

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19. 已知

A, B

为 3 阶矩阵，且满足

2 A^{- 1} B = B - 4 E

，其中

E

是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明: 矩阵

A - 2 E

可逆;
(2) 若

B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 求矩阵

A

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20. 已知 4 阶方阵

A = (α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}) ， α_{1}, α_{2} α_{3}, α_{4}

均为 4 维列向量，其中

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关，

α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}

，如果

β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}

，求线性方程组

A x = β

的通解.

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