1990年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

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1990年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}

，则

f (x)

是

A.

偶函数

B.

无界函数

C.

周期函数

D.

单调函数

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2. 设函数

f (x)

对任意

x

均满足等式

f (1 + x) = a f (x)

，且有

f^{'} (0) = b

，其中

a, b

为非零常数，则

A.

f (x)

在

x = 1

处不可导

B.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = a

C.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = b

D.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = a b

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3. 向量组

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

线性无关的充分条件是

A.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

均不为零向量

B.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中任意两个向量的分量不成比例

C.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中任意一个向量均不能由其余

s - 1

个向量线性表示

D.

α_{1}, α_{2} \dots, α_{s}

中有一部分向量线性无关

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4. 设

A

为

n

阶可逆矩阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，则

| A^{*} | =

A.

| A |^{n - 1}

B.

| A |

C.

| A |^{n}

D.

| A |^{- 1}

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5. 设

A, B

为两随机事件，且

B \subset A

，则下列式子正确的是

A.

P (A + B) = P (A)

B.

P (A B) = P (A)

C.

P (B ∣ A) = P (B)

D.

P (B - A) = P (B) - P (A)

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6. 已知随机变量

X

服从二项分布，且

E (X) = 2.4, D (X) = 1.44

则二项分布的参数

n, p

的值为

A.

n = 4, p = 0.6

B.

n = 6, p = 0.4

C.

n = 8, p = 0.3

D.

n = 24, p = 0.1

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7. 设随机变量

X

和

Y

相互独立，其概率分布为

则下列式子正确的是

A.

X = Y

B.

P {X = Y} = 0

C.

P {X = Y} = \frac{1}{2}

D.

P {X = Y} = 1

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 极限

L = lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 3 \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}) =

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9. 设函数

f (x)

有连续的导函数，

f (0) = 0

且

f^{'} (0) = b

，若函数

F (x) = {\begin{array}{cl} \frac{f (x) + a \sin x}{x}, & x \neq 0 \\ A & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处连续，则常数

A =

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10. 曲线

y = x^{2}

与直线

y = x + 2

所围成的平面图形的面积为

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11. 若线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - a_{1} \\ x_{2} + x_{3} = a_{2} \\ x_{3} + x_{4} = - a_{3} \\ x_{4} + x_{1} = a_{4} \end{cases}

有解, 则常数

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

应满足条件

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12. 一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为

\frac{80}{81}

，则射手的命中率为

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13. 已知随机变量

X \sim N (- 3, 1), Y \sim N (2, 1)

, 且

X, Y

相互独立，设随机变量

Z = X - 2 Y + 7

，则

Z \sim

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 求极限

I = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} (1 + t^{2}) e^{t^{2} - x^{2}} d t

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15. 求不定积分

\int \frac{x \cos^{4} \frac{x}{2}}{\sin^{3} x} d x

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16. 证明不等式

1 + x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \geq \sqrt{1 + x^{2}} (- \infty < x < + \infty)

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17. 求函数

I (x) = \int_{e}^{x} \frac{\ln t}{t^{2} - 2 t + 1} d t

在区间

[e, e^{2}]

上的最大值.

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18. 设

x^{2} + z^{2} = y φ (\frac{z}{y})

，其中

φ

为可微函数，求

\frac{\partial z}{\partial y}

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19. 计算

\iint_{D} x e^{- y^{2}} d x d y

，其中

D

是曲线

y = 4 x^{2}

和

y = 9 x^{2}

在第一象限所围成的区域.

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20. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n^{2}}

的收敛域.

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21. 求微分方程

y^{'} + y \cos x = (\ln x) e^{- \sin x}

的通解.

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22. 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入

R

(万元) 与电台广告费用

x_{1}

(万元)及报纸广告费用

x_{2}

(万元)之间的关系有如下经验公式:

R = 15 + 14 x_{1} + 32 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} .

（1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为 1.5 万元, 求相应的最优广告策略.

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23. 设

f (x)

在闭区间

[0, c]

上连续，其导数

f^{'} (x)

在开区间

(0, c)

内存在，且单调减少，

f (0) = 0

，试应用拉格郎日中值定理证明不等式

f (a + b) \leq f (a) + f (b)

，其中常数

a, b

满足条件

0 \leq a \leq b \leq a + b \leq c

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24. 设

A

为

10 \times 10

矩阵

[\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 10^{10} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

，计算行列
式

| A - λ E |

，其中

E

是 10 阶单位矩阵，

λ

为常数.

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25. 设方阵

A

满足条件

A^{T} A = E

，其中

A^{T}

是

A

的转置矩阵，

E

为单位阵，试证明所对应的特征值的绝对值等于 1 .

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26. 已知线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = a \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} - 3 x_{5} = 0 \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} = b \\ 5 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} - x_{5} = 2 \end{cases}

(1) 问

a, b

为何值时，方程组有解?
(2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系;
(3) 方程组有解时, 求出方程组的全部解.

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27. 已知对于

n

阶方阵

A

，存在自然数

k

，使得

A^{k} = 0

试证明矩阵

E - A

可逆，并写出其逆矩阵的表达式 (

E

为

n

阶单位阵) .

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28. 设

A

为

n

阶矩阵，

λ_{1}

和

λ_{2}

是

A

的两个不同的特征值，

x_{1}, x_{2}

是分别属于

λ_{1}

和

λ_{2}

的特征向量，试证明:

x_{1} + x_{2}

不是

A

的特征向量.

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29. 从

0, 1, 2, \dots, 9

等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率:

A_{1} =

“三个数字中不含 0 和 5 ”；

A_{2} =

“三个数字中含 0 但不含 5 "

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30. 一电子仪器由两个部件构成，以

X

和

Y

分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知

X

和

Y

的联合分布函数为:

F (x, y) = {\begin{array}{cc} 1 - e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 y} + e^{- 0.5 (x + y)} & x \geq 0, y \geq 0 \\ 0 & 其他 \end{array} .

(1) 问

X

和

Y

是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率

α

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31. 甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2 ，乙的为 0.5 , 以

X

和

Y

分别表示甲和乙的命中次数，试求

X

和

Y

联合概率分布.

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32. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分， 96 分以上的占考生总数的

2.3 %

，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.
[附表] (表中

Φ (x)

是标准正态分布函数)

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