设函数 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足等式 $f(1+x)=a f(x)$ ，且有 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a, b$ 为非零常数，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=a$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=b$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=a b$