解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个9 }}=1$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
设数列满足条件: $\left|a_{n+1}-a_n\right| < r^n, n=1,2, \cdots$, 其中 $r \in(0,1)$.求证 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
对给定的 $y$ 值, 方程 $x-\alpha \cdot \sin x=y(0 < \alpha < 1)$ 有唯一解
设 $a_1=a>0, a_2=b>0$, 且满足 $a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^2}+\frac{1}{a_n^2}, \quad n=1,2,3$ 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
设 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $-1 < x_0 < 0, x_{n+1}=x_n^2+2 x_n(n=0,1,2, \cdots)$,证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{x \rightarrow 0} x_n$
设 $\lambda>1, a=\lambda^{\frac{1}{\lambda}}$ , $a_1=a, a_2=a^{a_1}, \cdots, a_{n+1}=a^{a_n}, \cdots .$
试问 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在? (请详细说明理由). 如果存在的话, 求出此极限值.
设正数列 $A$ 满足$x_{n+1} \leqslant x_n+\frac{1}{n^2},$ 求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots)$ 证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设 $a_1=\sqrt{1+2015}, a_2=\sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016}}, \cdots$,
$$
a_n=\sqrt{(1+2015 \sqrt{(1+2016 \sqrt{(1+\cdots+(2014+n) \sqrt{1+(2013+n)})})}}
$$
求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 的值
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$, 其中 $y_n=1+\frac{y_{n-1}}{1+y_{n-1}}, y_0=1$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=a>1$, 且满足递推
$$
x_{n+1}=1+\ln \left(\frac{x_n^2}{1+\ln x_n}\right), n=2,3, \cdots
$$
求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求出极限值
设 $0 < p \leqslant 1, x_1>0, a>0, b>0, x_{n+1}=a+\frac{b}{x_n^p}, n \in \mathbb{N}$.证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
证明
$$
\sqrt{7}, \sqrt{7-\sqrt{7}}, \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}}, \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}
$$
收敛并求其值
设 $x_1>x_2>0, x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} x_n}$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求极限
设 $x_1=a \geqslant 0, y_1=b \geqslant 0$, 且
$x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}, y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+y_n\right), n=1,2, \cdots \text {, }$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$
(上海交通大学 1991 年竞赛题) 设 $x_1=1, x_2=2$, 且
$x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} \cdot x_n}(n=1,2, \cdots)$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$