唐绍东《微积分笔记》-极限论1

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唐绍东《微积分笔记》-极限论1

一、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 证明:

lim_{n \to \infty} 0 . \underset{n 个9}{\underset{⏟}{999 \dots 9}} = 1

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2. 证明

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

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3. 设数列满足条件:

| a_{n + 1} - a_{n} | < r^{n}, n = 1, 2, \dots

, 其中

r \in (0, 1)

.求证

{a_{n}}

收敛.

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4. 对给定的

y

值, 方程

x - α \cdot \sin x = y (0 < α < 1)

有唯一解

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5. 设

a_{1} = a > 0, a_{2} = b > 0

, 且满足

a_{n + 2} = 2 + \frac{1}{a_{n + 1}^{2}} + \frac{1}{a_{n}^{2}}, n = 1, 2, 3

证明: 数列

{a_{n}}

收敛.

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6. 设

{x_{n}}

满足:

- 1 < x_{0} < 0, x_{n + 1} = x_{n}^{2} + 2 x_{n} (n = 0, 1, 2, \dots)

,证明:

{x_{n}}

收敛, 并求

lim_{x \to 0} x_{n}

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7. 设

λ > 1, a = λ^{\frac{1}{λ}}

a_{1} = a, a_{2} = a^{a_{1}}, \dots, a_{n + 1} = a^{a_{n}}, \dots .

试问

lim_{n \to \infty} a_{n}

是否存在? (请详细说明理由). 如果存在的话, 求出此极限值.

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8. 设正数列

A

满足

x_{n + 1} ⩽ x_{n} + \frac{1}{n^{2}},

求证:

{x_{n}}

收敛.

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9. 设数列

{x_{n}}

满足:

x_{1} > 0, x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1 (n = 1, 2, \dots)

证明:

{x_{n}}

收敛, 并求

lim_{n \to \infty} x_{n}

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10. 设

a_{1} = \sqrt{1 + 2015}, a_{2} = \sqrt{1 + 2015 \sqrt{1 + 2016}}, \dots

a_{n} = \sqrt{(1 + 2015 \sqrt{(1 + 2016 \sqrt{(1 + \dots + (2014 + n) \sqrt{1 + (2013 + n)})})}}

求证：数列

{a_{n}}

收敛, 并求

lim_{n \to \infty} a_{n}

的值

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11. 求极限

lim_{n \to \infty} y_{n}

, 其中

y_{n} = 1 + \frac{y_{n - 1}}{1 + y_{n - 1}}, y_{0} = 1

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12. 设数列

{x_{n}}

满足

x_{1} = a > 1

, 且满足递推

x_{n + 1} = 1 + \ln (\frac{x_{n}^{2}}{1 + \ln x_{n}}), n = 2, 3, \dots

求证:

{x_{n}}

收敛, 并求出极限值

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13. 设

0 < p ⩽ 1, x_{1} > 0, a > 0, b > 0, x_{n + 1} = a + \frac{b}{x_{n}^{p}}, n \in N

.证明数列

{x_{n}}

收敛.

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14. 证明

\sqrt{7}, \sqrt{7 - \sqrt{7}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7}}}, \sqrt{7 - \sqrt{7 + \sqrt{7 - \sqrt{7}}}}

收敛并求其值

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15. 设

x_{1} > x_{2} > 0, x_{n + 2} = \sqrt{x_{n + 1} x_{n}}

, 证明:

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 并求极限

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16. 设

x_{1} = a ⩾ 0, y_{1} = b ⩾ 0

, 且

x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} y_{n}}, y_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}), n = 1, 2, \dots,

则

lim_{n \to \infty} x_{n} = lim_{n \to \infty} y_{n}

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17. (上海交通大学 1991 年竞赛题) 设

x_{1} = 1, x_{2} = 2

, 且

x_{n + 2} = \sqrt{x_{n + 1} \cdot x_{n}} (n = 1, 2, \dots)

求

lim_{n \to \infty} x_{n}

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