设 $a_1=\sqrt{1+2015}, a_2=\sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016}}, \cdots$,
$$
a_n=\sqrt{(1+2015 \sqrt{(1+2016 \sqrt{(1+\cdots+(2014+n) \sqrt{1+(2013+n)})})}}
$$
求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 的值
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$