单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=|(x, y)| x^2+y^2 \leqslant 2, x \in \mathbf{N}, y \in \mathbf{N} \mid$, 则 $A$ 中元素的个数为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 8
若 $z(1+i)=2 i$, 则 $z$ 的共轭复数的虚部是
$\text{A.}$ 1-i
$\text{B.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ -1
已知随机变量 $\xi_i$ 满足 $P\left(\xi_i=1\right)=p_i, P\left(\xi_i=0\right)=1-p_i, i=1$, 2. 若 $\frac{1}{2} < p_1 < p_2 < 1$, 则
$\text{A.}$ $E\left(\xi_1\right)>E\left(\xi_2\right), D\left(\xi_1\right) < D\left(\xi_2\right)$
$\text{B.}$ $E\left(\xi_1\right)>E\left(\xi_2\right), D\left(\xi_1\right)>D\left(\xi_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(\xi_1\right) < E\left(\xi_2\right), D\left(\xi_1\right) < D\left(\xi_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(\xi_1\right) < E\left(\xi_2\right), D\left(\xi_1\right)>D\left(\xi_2\right)$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+\log _3(2-x), x < 1, \\ 3^{x-1}, x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 求 $f(-25)+f\left(\log _3 15\right)=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 15
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$, 离心率为 $\sqrt{2}$. 若 $F$ 到双曲线的一条渐近线的距离为 2 , 则双曲线的力程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$
已知向量 $\vec{b}=(1, \sqrt{3})$, 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 -4 , 若 $(\lambda \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$, 则实数 $\lambda$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
在 $\triangle A B C$ 中, $(\sin B-\sin C)^2=\sin ^2 A-\sin B \sin C$, 则 $\tan A=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
某几何体的三视图如图 1 所示, 则该几何体的侧面积为
$\text{A.}$ $\frac{1+2 \sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3+2 \sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+1}{2}$
已知 $\alpha, \beta$ 为锐角, $\tan \alpha=\frac{4}{3}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, 则 $\tan (\alpha-\beta)=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{24}{7}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{11}$
已知函数 $f(x)=x^2-2 x+a\left(e^{x-1}+\mathrm{e}^{-x+1}\right)+\cos (x-1)-1$ 有唯一零点, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $a=\log _3 4, b=\log _2 3, c=\log _{0.2} 0.09$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $c < a < b$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $a < c < b$
已知抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$, 过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2, l_1$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, $l_2$ 与 $C$交于 $M, N$ 两点, 设 $\triangle P O Q$ 的面积为 $S_1, \triangle M O N$ 的面积为 $S_2$ ( $O$ 为坐标原点), 则 $S_1^2+S_2^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 14
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知实数 $x, y$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant x, \\ x+y \geqslant 1, \\ x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $z=y-2 x$ 的最小值是
在 $\left(x^2-\frac{2 y}{x}\right)^5$ 的展开式中, $x y^3$ 的系数是
在三棱锥 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C, A B=A C, \angle B A C=\frac{\pi}{3}$, 其外接球表面积为 $16 \pi$, 则三校雉 $P-A B C$ 的体积的最大值为
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0),|\varphi| \leqslant \frac{\pi}{2}$, 下述五个结论:
(1)者 $\varphi=\frac{\pi}{5}$, 且 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个雪点, 则 $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点;
(2) 若 $\varphi=\frac{\pi}{4}$, 且 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 4 个零点, 则 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 3 个极小值点;
(3)若 $\varphi=\frac{\pi}{5}$, 且 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点, 则 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 上单调递增;
(4)若 $\varphi=\frac{\pi}{4}$, 且 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 4 个零点, 则 $\omega$ 的范围是 $\left[\frac{15}{8}, \frac{19}{8}\right)$;
(5)若 $f(x)$ 的图象关于 $x=\frac{\pi}{4}$ 对称, $x=-\frac{\pi}{4}$ 为它的一个零点, 且在 $\left(\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}\right)$ 上单调, 则 $\omega$ 的撮大值为 11 .
其中所有正确结论的序号是
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}-2 a x(x \in \mathbf{R}), g(x)=\ln (x+1)-1$.
(1) 当 $a=-\frac{1}{2}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值;
(2) 若 $x \geqslant 0$ 时, $f(-x)+g(x) \geqslant 0$, 求实数 $a$ 的取值范围.
设函数 $f(x)=2|x+1|+|x-3|$ 的最小值为 $m$, 且 $f(t)=m$.
(1) 求 $m$ 及 $t$ 的值;
(2) 若正实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c+1=m$, 证明: $\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}}{3} \leqslant \sqrt{2}$.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 且抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点恰好是椭圆 $C$ 的一个焦点.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切的直线 $l: y=k x+t$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点, 若椭圆上存在点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\mu(\overrightarrow{O M}+$ $\overrightarrow{O N})(\mu>0), O$ 为坐标原点, 求四边形 $O M P N$ 面积的取值范围.