2022湖南长沙中考数学试卷真题

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2022湖南长沙中考数学试卷真题

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

- 6

的相反数是 ( )

A.

- \frac{1}{6}

B.

- 6

C.

\frac{1}{6}

D.

6

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2. 如下右图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体, 该几何体的主视图是

A.

B.

C.

D.

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3. 下列说法中, 正确的是 ( )

A.

调查某班 45 名学生的身高情况宜采用全面调查

B.

“太阳东升西落” 是不可能事件

C.

为了直观地介绍空气各成分的百分比, 最适合使用的统计图是条形统计图

D.

任意投掷一枚质地均匀的硬币 26 次, 出现正面朝上的次数一定是 13 次

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4. 下列计算正确的是（）

A.

a^{7} \div a^{5} = a^{2}

B.

5 a - 4 a = 1

C.

3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}

D.

(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}

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5. 在平面直角坐标系中, 点

(5, 1)

关于原点对称的点的坐标是 ( )

A.

(- 5, 1)

B.

(5, - 1)

C.

(1, 5)

D.

(- 5, - 1)

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6. 《义务教育课程标准 (2022 年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程, 并做出明确规定. 某班有 7 名学生已经学会炒的菜品的种数依次为:

3, 5, 4, 6, 3, 3, 4

. 则这组数据的众数和中位数分别是（ )

A.

3,4

B.

4,3

C.

3,3

D.

4,4

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7. 为落实 “双减” 政策, 某校利用课后服务开展了主题为 “书香满校园”的读书活动. 现需购买甲, 乙两种读本共 100 本供学生阅读, 其中甲种读本的单价为 10 元/本, 乙种读本的单价为 8 元/本, 设购买甲种读本

x

本，则购买乙种读本的费用为( )

A.

8 x

元

B.

10 (100 - x)

元

C.

8 (100 - x)

元

D.

(100 - 8 x)

元

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8. 如图,

A B / / C D, A E / / C F, ∠ B A E = 75^{\circ}

, 则

∠ D C F

的度数为

()

A.

65^{\circ}

B.

70^{\circ}

C.

75^{\circ}

D.

105^{\circ}

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9. 如图,

P A, P B

是

⊙ 0

的切线,

A 、 B

为切点, 若

∠ A O B = 128^{\circ}

, 则

∠ P

的度数为 ( )

A.

32^{\circ}

B.

52^{\circ}

C.

64^{\circ}

D.

72^{\circ}

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10. 如图, 在

△ ABC

中, 按以下步骤作图:
(1) 分别以点

A 、 B

为圆心, 大于

\frac{1}{2} AB

的长为半径画弧, 两弧交于

P 、 Q

两点;
(2)作直线

P Q

交

A B

于点

D

;
(3) 以点

D

为圆心,

A D

长为半径画弧交

P Q

于点

M

, 连接

A M 、 B M

.
若

A B = 2 \sqrt{2}

, 则

A M

的长为

A.

4

B.

2

C.

\sqrt{3}

D.

\sqrt{2}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 若式子

\sqrt{x - 19}

在实数范围内有意义, 则实数的取值范围是

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12. 分式方程

\frac{2}{x} = \frac{5}{x + 3}

的解为

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13. 如图,

A 、 B 、 C

是

⊙ O

上的点,

O C ⊥ A B

, 垂足为点

D

, 且

D

为

O C

的中点, 若

O A = 7

, 则

BC

的长为

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14. 关于

x

的一元二次方程

x^{2} + 2 x + t = 0

有两个相等的实数根, 则实数

t

的值为

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15. 为了解某校学生对湖南省 “强省会战略”的知晓情况, 从该校全体 1000 名学生中, 随机抽取了 100 名学生进行调查, 结果显示有 95 名学生知晓. 由此, 估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（　　）名.

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16. 当今大数据时代, “二维码” 具有存储量大. 保密性强、追踪性高等特点, 它已被广泛应用于我们的日常生活中, 尤其在全球 “新冠”疫情防控期间, 区区 “二维码” 已经展现出无穷威力. 看似 “码码相同” , 实则 “码码不同”. 通常, 一个 “二维码” 由 1000 个大大小小的黑白小方格组成, 其中大约

80 %

的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码, 这相当于 1000 个方格只有 200 个方格作为数据码. 根据相关数学知识, 这 200 个方格可以生成

2^{200}

个不同的数据二维码, 现有四名网友对

2^{200}

的理解如下: YYDS(永远的神)：

2^{200}

就是 200 个 2 相乘, 它是一个非常非常大的数;

DDDD

(懂的都懂) :

2^{200}

等于

200^{2}

;
JXND(觉醒年代)：

2^{200}

的个位数字是 6 ;
QGYW (强国有我): 我知道

2^{10} = 1024, 10^{3} = 1000

, 所以我估计

2^{200}

比

10^{60}

大,
其中对

2^{200}

的理解错误的网友是（　　） (填写网名字母代号).

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算:

| - 4 | + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - (\sqrt{2})^{2} + 2035^{\circ}

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18. 解不等式组:

{\begin{cases} 3 x > - 8 - x (1) \\ 2 (x - 1) \leq 62 \end{cases}

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19. 为了进一步改善人居环境, 提高居民生活的幸福指数. 某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造. 如图,

AB

表示该小区一段长为

20 m

的斜坡, 坡角

∠ BAD = 30^{\circ}

B D ⊥ A D

于点

D

. 为方便通行, 在不改变斜坡高度的情况下, 把坡角降为

15^{\circ}

.
(1) 求该斜坡的高度 BD;
(2) 求斜坡新起点

C

与原起点

A

之间的距离. (假设图中

C, A, D

三点共线)

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20. 2022 年 3 月 22 日至 28 日是第三十五届 “中国水周”, 在此期间, 某校举行了主题为 “推进地下水超采综合治理, 复苏河湖生态环境” 的水资源保护知识竞赛. 为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况, 从参赛学生中随机抽取了 150 名学生的初赛成绩进行统计, 得到如下两幅不完整的统计图表.

(1) 表中

a =

b =

c =

(2) 请补全频数分布直方图;
(3) 若某班恰有 3 名女生和 1 名男生的初赛成绩均为 99 分, 从这 4 名学生中随机选取2 名学生参加复赛, 请用列表法或画树状图法求选出的 2 名学生恰好为一名男生、名女生的概率.

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21. 如图,

A C

平分

∠ B A D, C B ⊥ A B, C D ⊥ A D

, 垂足分别为

B, D

.
(1)求证:

△ A B C ≅ △ A D C

;
(2) 若

AB = 4, CD = 3

, 求四边形

ABCD

的面积.

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22. 22. 电影《刘三姐》中, 有这样一个场景, 罗秀才摇头晃脑地吟唱道: “三百条狗交给你, 一少三多四下分, 不要双数要单数, 看你怎样分得匀? 该歌词表达的是一道数学题。其大意是: 把 300 条狗分成 4 群, 每个群里, 狗的数量都是奇数, 其中一个群, 狗的数量少; 另外三个群, 狗的数量多且数量相同。问：应该如何分? 请你根据题意解答下列问题:
（一）刘三姐的姐妺们以对歌的形式给出答案: “九十九条打猎去, 九十九条看羊来, 九十九条守门口, 剩下三条给财主.” 请你根据以上信息, 判断以下三种说法是否正确, 在题后相应的括号内, 正确的打

✓

, 错误的打

\times

.
(1) 刘三姐的姐妺们给出的答案是正确的, 但不是唯一正确的答案. ( )
(2)刘三姐的姐妺们给出的答案是唯一正确的答案. ( )
(3)该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种. ( )

（二）若罗秀才再增加一个条件: “数量多且数量相同的三个群里, 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多 40 条”, 求每个群里狗的数量.

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23. 如图, 在

◻ ABCD

中, 对角线

AC, BD

相交于点

0, AB = AD

.
(1) 求证:

AC ⊥ BD

;
(2) 若点

E, F

分别为

AD, A 0

的中点, 连接

EF, EF = \frac{3}{2}, AO = 2

, 求

BD

的长及四边形

ABCD

的周长.

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24. 如图, 四边形

ABCD

内接于

⊙ 0

, 对角线

AC, BD

相交于点

E

, 点

F

在边

AD

上, 连接 EF.
(1) 求证:

△ ABE \sim △ DCE

;
(2) 当

\hat{DC} = \hat{CB}, ∠ DFE = 2 ∠ CDB

时, 则

\frac{AE}{BE} - \frac{DE}{CE} =; \frac{AF}{AB} + \frac{FE}{AD} =

;

\frac{1}{AB} + \frac{1}{AD} - \frac{1}{AF} =

(直接将结果填写在相应的横线上）
(3) (1)记四边形

ABCD, △ ABE, △ CDE

的面积依次为

S, S_{1}, S_{2}

, 若满足

\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}

,
试判断

△ A B E, △ C D E

的形状, 并说明理由.
(2)当

\hat{D C} = \hat{C B}, A B = m, A D = n, C D = p

时, 试用含

m, n, p

的式子表示

A E \cdot C E

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25. 若关于

x

的函数

y

, 当

t - \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ t + \frac{1}{2}

时, 函数

y

的最大值为

M

, 最小值为

N

, 令函数

h = \frac{M - N}{2}

, 我们不妨把函数

h

称之为函数

y

的 “共同体函数”.
(1) (1) 若函数

y = 4044 x

, 当

t = 1

时, 求函数

y

的 “共同体函数”

h

的值;
(2)若函数

y = k x + b (k \neq 0, k ， b

为常数)，求函数

y

的 “共同体函数”

h

的解析式;
(2) 若函数

y = \frac{2}{x} (x ⩾ 1)

, 求函数

y

的 “共同体函数”

h

的最大值;
(3) 若函数

y = - x^{2} + 4 x + k

，是否存在实数

k

, 使得函数

y

的最大值等于函数

y

的 “共同体函数”

h

的最小值, 若存在, 求出

k

的值; 若不存在, 请说明理由.

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