2022湖南长沙中考数学试卷真题-中考/高考/考研数学试题

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试题类型		选择题选项
试题分值		所属年份
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试题分类	一元二次方程 (x) 确定
试题题目	若关于 $x$ 的函数 $\mathrm{y}$, 当 $\mathrm{t}-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 的最大值为 $\mathrm{M}$, 最小值为 $\mathrm{N}$, 令函数 $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}$, 我们不妨把函数 $\mathrm{h}$ 称之为函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数”. (1) (1) 若函数 $\mathrm{y}=4044 x$, 当 $\mathrm{t}=1$ 时, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的值; (2)若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{k} x+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0, \mathrm{k} ， \mathrm{~b}$ 为常数)，求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的解析式; (2) 若函数 $\mathrm{y}=\frac{2}{x}(x \geqslant 1)$, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的最大值; (3) 若函数 $\mathrm{y}=-x^{2}+4 x+\mathrm{k}$ ，是否存在实数 $\mathrm{k}$, 使得函数 $\mathrm{y}$ 的最大值等于函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的最小值, 若存在, 求出 $\mathrm{k}$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
问题选项
参考答案	解: (1) (1)对于函数 $\mathrm{y}=4044 x$, 当 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 时 $\mathrm{y}$ 有最大值 $M=6066$, 当 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ 时 $\mathrm{y}$ 有最小值 $\mathrm{N}=2022$, 故函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的值 $=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=\frac{6066-2022}{2}=2022$; (2)当 $\mathrm{k}>0$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 在 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时取最大值 $\mathrm{M}=\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{k}+\mathrm{b}=\mathrm{kt}+\frac{1}{2} \mathrm{k}+\mathrm{b}$, 在 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}$ 时取最小值 $\mathrm{N}=\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}\right) \mathrm{k}+\mathrm{b}=\mathrm{kt}-\frac{1}{2} \mathrm{k}+\mathrm{b}$, 此时 $h=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}-\frac{\mathrm{kt}+\frac{1}{2} \mathrm{k}+\mathrm{b}-\mathrm{kt}+\frac{1}{2} \mathrm{k}-\mathrm{b}}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{k}$; 当 $\mathrm{k}<0$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 在 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}$ 时取晘大值 $\mathrm{M}=\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}\right) \mathrm{k}+\mathrm{b}=\mathrm{kt}-\frac{1}{2} \mathrm{k}+\mathrm{b}$, 在 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时取最小值 $N=\left(t+\frac{1}{2}\right) k+b=k t+\frac{1}{2} k+b$, 此时 $h=\frac{M-N}{2}=\frac{k t-\frac{1}{2} k+b-k t-k-b}{2}=-\frac{1}{2} k$; 故 $\mathrm{h}$ 的解析式为 $\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2} \mathrm{k}(\mathrm{k}>0) \\ -\frac{1}{2} \mathrm{k}(\mathrm{k}<0)\end{array}\right.$; （2）对于函数 $y=\frac{2}{x}$, 当 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}$ 时, $\mathrm{y}$ 有最大值 $\mathrm{M}=\frac{2}{\mathrm{t}-\frac{1}{2}}=\frac{4}{2 \mathrm{t}-1}$, 当 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, $\mathrm{y}$ 有最小值 $\mathrm{N}=\frac{2}{\mathrm{t}+\frac{1}{2}}=\frac{4}{2 \mathrm{t}+1}$, 故 $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=\frac{\frac{4}{2 t-1}-\frac{4}{2 t+1}}{2}=\frac{4}{4 t^{2}-1}$ $\because x \geqslant 1, \therefore \mathrm{t}-\frac{1}{2} \geqslant 1$, 即 $\mathrm{t} \geqslant \frac{3}{2}$, 故当 $\mathrm{t}=\frac{3}{2}$ 时, $\mathrm{h}$ 有是大值 $\frac{4}{4 t^{2}-1}=\frac{4}{4 \times \frac{9}{4}-1}=\frac{1}{2}$; (3) $\because \mathrm{y}=-x^{2}+4 x+\mathrm{k}=-(x-2)^{2}+\mathrm{k}+4, \therefore$ 抛物线开口向下, 对称轴为 $x=2$, 顶点坐标为 $(2$, $k+4)$, 故函数 $y$ 的最大值为 $k+4$, (1) 当 $\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 在对称轴 $x=2$ 的左侧, 即 $\mathrm{t}+\frac{1}{2} \leqslant 2$ 时, $\mathrm{t} \leqslant \frac{3}{2}$, 当 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, $\mathrm{y}_{\text {nax }}=\mathrm{M}=-\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{3}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4$ ，当 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}$ 时, $$ \begin{aligned} &\mathrm{y}_{\min }=\mathrm{N}=-\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{5}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4 \\ &\mathrm{~h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=2-\mathrm{t} \end{aligned} $$ (2)当 $\frac{t+\frac{1}{2}+t-\frac{1}{2}}{2} \leqslant 2$ 且 $t+\frac{1}{2}>2$ 时, $\frac{3}{2}<t \leqslant 2$, 即点 $\left(t-\frac{1}{2}, 0\right)$ 与点 $\left(t+\frac{1}{2}, 0\right)$ 连线中点在对称轴 $x=2$ 的左侧或与对称轴重合时, 当 $x=2$ 时, $\mathrm{y}_{\max }=\mathrm{M}=-(2-2)^{2}+\mathrm{k}+4=\mathrm{k}+4$, 当 $x=\mathrm{t}-\frac{1}{2}$ 时， $\mathrm{y}_{\mathrm{nin}}=\mathrm{N}=-\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{5}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4$, $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{t}-\frac{5}{2}\right)^{2}$; (3)当 $\frac{\mathrm{t}+\frac{1}{2}+\mathrm{t}-\frac{1}{2}}{2}>2$ 且 $\mathrm{t}-\frac{1}{2}<2$ 时, $2<\mathrm{t}<\frac{5}{2}$, 即点 $\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}, 0\right)$ 与点 $\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2}, 0\right)$ 连线中点在对称轴 $x=2$ 的右侧时, 当 $x=2$ 时, $\mathrm{y}_{\max }=\mathrm{M}=-(2-2)^{2}+\mathrm{k}+4=\mathrm{k}+4$, 当 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时， $\mathrm{y}_{\mathrm{nin}}=\mathrm{N}=-\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{3}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4$, $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{t}-\frac{3}{2}\right)^{2} ;$ (4) $t-\frac{1}{2}$ 在对称轴 $x=2$ 的右侧, 即 $t-\frac{1}{2} \geqslant 2$ 时, $t \geqslant \frac{5}{2}$, 当 $x=t-\frac{1}{2}$ 时， $\mathrm{y}_{\max }=\mathrm{M}=-\left(\mathrm{t}-\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{5}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4$ ，当 $x=\mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, $\mathrm{y}_{\text {nin }}=\mathrm{N}=-\left(\mathrm{t}+\frac{1}{2}-2\right)^{2}+\mathrm{k}+4=-\left(\mathrm{t}-\frac{3}{2}\right)^{2}+\mathrm{k}+4$, $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}=\mathrm{t}-2$; 综上述, $\mathrm{h}$ 关于 $\mathrm{t}$ 的函数解析式为 $$ \left\{\begin{array}{cc} h=2-t & \left(t \leq \frac{3}{2}\right) \\ h=\frac{1}{2}\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2} & \left(\frac{3}{2}<t \leq 2\right) \\ h=\frac{1}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2} & \left(2<t<\frac{5}{2}\right) \\ h=t-2 & \left(t \geq \frac{5}{2}\right) \end{array}\right. $$ 即 $\mathrm{h}$ 关于 $\mathrm{t}$ 的函数图象由 4 段函数图象组成: 当 $t \leqslant \frac{3}{2}$ 时为斜率为负的一次函数, 当 $t=\frac{3}{2}$ 时 $h$ 有最小值 $\frac{1}{2}$; 当 $\frac{3}{2}<\mathrm{t} \leqslant 2$ 时为开口向上的二次函数, 对称轴为 $\mathrm{t}=\frac{5}{2}$, 故当 $\mathrm{t}=2$ 时 $\mathrm{h}$ 有最小值 $\frac{1}{8}$; 当 $2<t<\frac{5}{2}$ 时为开口向上的二次函数, 对称轴为 $=\frac{3}{2}, h$ 最小值大于 $t=2$ 时的虚心端点值 $\frac{1}{8}$ 当 $t \geqslant \frac{5}{2}$ 时为斜率为正的一次函数, 当 $t=\frac{5}{2}$ 时 $h$ 有最小值 $\frac{1}{2}$, 故当 $t=2$ 时, $h$ 有最小值 $\frac{1}{8}$, 即 $k+4-\frac{1}{8}$, 解得 $k=-\frac{31}{8}$.
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