【ID】1150 【题型】解答题 【类型】中考真题 【来源】2022湖南长沙中考数学试卷真题
如图, 在 $\square \mathrm{ABCD}$ 中, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $0, \mathrm{AB}=\mathrm{AD}$.
(1) 求证: $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$;
(2) 若点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为 $\mathrm{AD}, \mathrm{A} 0$ 的中点, 连接 $\mathrm{EF}, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}, \mathrm{AO}=2$, 求 $\mathrm{BD}$ 的长及四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长.


答案:
解: (1) 证明: $\because \square \mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \therefore \square \mathrm{ABCD}$ 为菱形, $\therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$;
(2) $\because$ 点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为 $\mathrm{AD}, \mathrm{A} 0$ 的中点, $\mathrm{OD}=2 \mathrm{EF}=3$
$\square \mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{OD}=\mathrm{OB}, \quad \therefore \mathrm{BD}=2 \mathrm{OD}=6$,
由 (1) 知 $\square A B C D$ 为菱形, $\therefore O A \perp O D$, 由勾股定理知 $A D=\sqrt{O A^{2}+O D^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$, 故四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长 $=4 \mathrm{AD}=4 \sqrt{13}$.

解析:

视频讲解

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