题号:1148    题型:解答题    来源:2022湖南长沙中考数学试卷真题
如图, $A C$ 平分 $\angle B A D, C B \perp A B, C D \perp A D$, 垂足分别为 $B, D$.
(1)求证: $\triangle A B C \cong \triangle A D C$;
(2) 若 $\mathrm{AB}=4, \mathrm{CD}=3$, 求四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积.

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答案:
(1) $\because A C$ 平分 $\angle B A D, \therefore \angle B A C=\angle D A C$,
$\because \mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \quad \therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$,
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 与 $\triangle \mathrm{ADC}$ 中, $\because\left\{\begin{aligned} A C &=A C \\ \angle A B C &=\angle A D C, \therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{ADC}(\mathrm{AAS}) ; \\ \angle \mathrm{BAC} &=\angle \mathrm{DAC} \end{aligned}\right.$

(2) 由 (1) 知 $\triangle A B C \cong \triangle A D C, \therefore B C=C D=3$,
$\therefore S_{\text {四边形 } A B C D}=S_{\triangle B B C}+S_{\triangle A D C}=2 S_{\triangle B B C}=2 \times \frac{1}{2} \times A B \times B C=2 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 3=12$.
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