单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\left\{x \mid 3^x>1\right\}, B=\left\{x \mid x^2-3 x < 0\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $[0,3)$
$\text{B.}$ $[1,3)$
$\text{C.}$ $(0,3)$
$\text{D.}$ $(1,3)$
若复数 $z=i(i+1)$, 则 $\bar{Z}$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-i$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $i$
若 $a>0, b>0$, 则 “ $a+b < 4$ ”是“ $a b < 4$ ”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知角 $\alpha$ 的顶点与原点重合, 始边与 $x$ 轴正半轴重合, 终边经过点 $(1,-2)$, 则 $\tan 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知公比不为 1 的正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_3^2=a_m a_n\left(m, n \in N^*\right)$, 则 $\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知 $a=\cos \frac{\pi}{5}, b=\sin \frac{\pi}{4}, c=\log _3 2$, 则
$\text{A.}$ $b < a < c$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $c < b < a$
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 且对任意的 $x>0, f(x+2)+2 f(x)=0$ 恒成立, 当 $x \in[0,2]$ 时 $f(x)=\sin \frac{\pi x}{2}$. 若对任意 $x \in[-m, m](m>0)$, 都有 $|f(x-1)| \leq 2$, 则 $m$ 的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{10}{3}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $\frac{13}{3}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列命题为真命题的是
$\text{A.}$ $\forall x \in R, x \geq \sin x$
$\text{B.}$ $\forall x \in(0,+\infty), \frac{x}{2} \geq \ln x$
$\text{C.}$ $\exists x \in R, 3 x-e^x=0$
$\text{D.}$ $\exists x \in(0,+\infty), x^2=3^x$
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$, 则
$\text{A.}$ $f\left(\frac{\pi}{5}\right)=f\left(\frac{6 \pi}{5}\right)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{5}\right]$ 上单调递减
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度得到函数 $g(x)=\cos 2 x$ 的图象
已知平面向量 $\overrightarrow{O A}=(2 m, 3), \overrightarrow{O B}=(m+2,4)$, 则
$\text{A.}$ 若直线 $A B$ 的一个方向向量为 $(1,1)$, 则 $m=1$
$\text{B.}$ 若向量 $\overrightarrow{A B}$ 是单位向量, 则 $m=2$
$\text{C.}$ 若向量 $\overrightarrow{O P}=(4,1)$ 满足 $\overrightarrow{P A} \perp \overrightarrow{A B}$, 则 $m=3$
$\text{D.}$ 当 $m=0$ 时, 向量 $O A$ 皆在向量 $\overrightarrow{O B}$ 上的投影向量的坐标为 $\left(\frac{6}{5}, \frac{12}{5}\right)$
已知函数 $f(x)=\left(2 x-x^2\right) e^x$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极值点
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增
$\text{C.}$ $\exists m \in R, f(x) < m$ 恒成立
$\text{D.}$ 方程 $f(x)-2 x=0$ 有 2 个实数根
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-2 x+3, x \leq 0 \\ \log ^2(x+5), x>0\end{array}\right.$, 则 $f(f(-2))=$
英国数学家泰勒发现了如下公式: $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots$, 该公式被编入计算工具, 计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. 利用上面公式的前三项计算 $\cos 1$, 得到近似值为 . (结果用分数表示)
在 $\triangle A B C$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$, 点 $O$ 在 $\triangle A B C$ 所在平面内, 且 $\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6$, 则 $\triangle A B C$ 外接圆的面积为
某劳动教育基地欲修建一段斜坡, 假设斜坡底在水平面上, 斜坡与水平面的夹角为 $\theta$, 斜坡顶端距离水平面的垂直高度为 2.4 米, 人沿着斜坡每向上走 1 米, 消耗的体能为 $\frac{25}{24}-\cos \theta$, 则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为 , 此时 $\tan \theta=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f(x)=a+\frac{1}{2^x+1}$.
(1) 求 $a$;
(2) 若 $f\left(\log _4 t\right)+f(2)>0$, 求 $t$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{2 x^2+a x-1}{e^x}$, 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处向切线方程为 $2 x+b y-1=0$.
(1) 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 求 $f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的最值.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{b+c}{2}$, 三条内角平分线相交于点 $O, \triangle O B C$ 的面积为 $15 \sqrt{3}$.
(1) 求 $A$;
（2）若 $a=14$, 求 $O A$.
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x+2 \cos ^2 x+m$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 2 .
(1) 求 $m$;
(2) 若函数 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)+f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-f\left(x-\frac{\pi}{12}\right) f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$, 当 $x \in \mathbf{R}$ 时, 求 $g(x)$ 的最小值, 以及相应 $x$ 的集合.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2, S_4=14$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=4, b_{n+1}=3 b_n-2$.
(1) 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{a_{n+1}}{a_n^2 \cdot a_{n+2}^2}, & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{b_n}, & n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 若 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 证明: $T_{2 n} < \frac{3}{16}$.
已知函数 $f(x)=x^2-a x+2 \ln x, a \in R$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 已知 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 证明: $2 f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \geq-1-3 \ln 2$.