2023 学年第一学期期中杭州地区 (含周边) 重点中学

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2023 学年第一学期期中杭州地区 (含周边) 重点中学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 命题 “

\forall x > 0, x ⩾ 1

” 的否定是

A.

\forall x > 0, x < 1

B.

\exists x > 0, x < 1

C.

\exists x ⩽ 0, x < 1

D.

\exists x ⩽ 0, x ⩾ 1

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2. 小明有 50 元钱去买水果, 他发现如果买

1 kg

阳光玫瑰和

750 g

涌泉蜜桔则钱不够, 若买

1.2 kg

阳光玫瑰和

400 g

涌泉蜜桔则钱有余, 设

800 g

阳光玫瑰与

1.4 kg

涌泉蜜桔的价格分别为

a, b

(单位:元), 则

A.

a < b

B.

a > b

C.

a = b

D.

a, b

大小无法比较

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3. 下列方程中不能用二分法求近似解的为

A.

\ln x + x = 0

B.

e^{x} - 3 x = 0

C.

x^{3} - 3 x + 1 = 0

D.

4 x^{2} - 4 \sqrt{5} x + 5 = 0

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4. 函数

f (x) = \log_{2} (2 x) \cdot \log_{2} (4 x)

的值域为

A.

R

B.

[- \frac{1}{24}, + \infty)

C.

[- \frac{1}{4}, + \infty)

D.

[- \frac{3}{2}, + \infty)

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5. 函数

f (x) = 2^{x} + 3^{- x}

的图象可能为

A.

B.

C.

D.

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6. 已知集合

A = (a, b)

, 集合

B = (c, d)

, 则 “

a < d

且

b > c

”是“

A \cap B \neq \emptyset

”成立的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分又不必要条件

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7. 已知

a > b > 0

且

a^{2} - b^{2} = 4

, 则

a^{2} - a b + b^{2}

的最小值为

A.

2 \sqrt{2}

B.

2 \sqrt{3}

C.

D.

2 \sqrt{5}

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8. 已知

f (x) = {\begin{array}{cc} | 4 - x^{2} |, & x ⩽ 0, \\ \frac{1}{x}, & x > 0 \end{array}

, 若

x_{1} < x_{2} < x_{3}

满足

f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})

, 则

\frac{x_{1} x_{2}}{x_{3}}

的取值范围为

A.

(0, 2 \sqrt{3}]

B.

(0, \sqrt{15}]

C.

(0, 8]

D.

(0, 64]

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知集合

A = {1, 2, 3}, B = {a + b ∣ a, b \in A}

, 则

A.

集合

A

有 8 个子集

B.

集合

B

中有 6 个元素

C.

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

D.

A \subseteq B

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10. 一元二次不等式

a x^{2} + b x + c > 0

的解集为

(- 2, 1)

, 则

A.

a < 0

B.

c < 0

C.

a + b + c = 0

D.

a - b + 2 c > 0

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11. 已知

x = \log_{a} b, y = a^{b}, z = b^{a}

, 则下列不等式可能成立的为

A.

y > z > x > 1

B.

z > y > x > 1

C.

y < z < x < 1

D.

z < y < x < 1

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12. 已知定义在

R

上的函数

f (x)

的图象为一条连续不断的曲线, 且关于点

(a, b)

与

(b, a)

对称

(a \neq b)

, 则

A.

存在非零实数

T

使

f (x + T) = f (x)

B.

函数

y = f (x)

必有零点

C.

存在实数

t

使

f (t) = t

D.

存在实数

t

使

f (t) = - t

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知幂函数

f (x) = (2 m^{2} + m) x^{m - 1}

是偶函数, 则

m =

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14. 计算:

3^{\log_{3} 2} + \log_{4} 3 \cdot \log_{3} 8 =

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15. 已知定义在

R

上的函数

f (x)

满足

f (x) + x f (- x) = x^{2} + x

,则函数

f (x)

的解析式

f (x) =

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16. 已知实数

a, b

满足

2^{a - 2} + a = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} b^{2} + \log_{2} b = - \frac{3}{4}

, 则

\frac{2^{a}}{b^{2}} =

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知集合

A = {x | | 2 x + 1 | < | x - 4 ∣}, B = {x ∣ \frac{1}{x + a} < 1}

.
(I) 求集合

A

;
(II) 若

A \subseteq B

, 求实数

a

的取值范围.

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18. 已知

x_{1}, x_{2}

是方程

x^{2} - b x + c = 0

的实数解.
(I) 若

c > - 2, x_{1} = 1

, 求

b + \frac{9}{c + 2}

的最小值;
(II) 若

1 ⩽ x_{1} ⩽ 2 ⩽ x_{2} ⩽ 3

, 求

\frac{b}{c}

的取值范围.

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19. 已知函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2^{x} + 1} + k x

为偶函数.
(I) 求实数

k

的值;
(II) 求不等式

f (\log_{2} x) > f (2)

的解集.

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20. 通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率. 已知某件商品 2015 年 10 月的定价为 21.5 , 而该商品 2023 年 10 月的定价为 22.8 . 该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致.
(I) 求该地区 2015 年至 2023 年的年平均通货膨胀率;
（II）资金的增长率被称为名义利率, 以欧文 - 费雪(Irving Fisher)（20世纪一位伟大的货币经济学家) 命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义, 费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率. 已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示 (银行定期年利率为单利, 三年存款的利息

=

本金*年利率

* 3

(i) 求该存款 2020 年至 2023 年的实际年平均利率（精确到

1 %

);
(ii) 若在 2015 年至 2023 年间该存款以同样的年利率 (3.8500\%, 单利) 存五年定期, 则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小? (只写出结论, 不要求证明)
参考数据:

\lg 22.8 \approx 1.3579, \lg 21.5 \approx 1.3324, \lg 1.0385 \approx 0.0164, \lg 1.1155 \approx 0.0475

10^{0.00283} \approx 1.0065, 10^{0.0031875} \approx 1.0074, 10^{0.011875} \approx 1.0277, 10^{0.01583} \approx 1.0371

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21. 已知函数

f (x) = x | x - a | (0 < a < 7)

.
(I) 求函数

f (x)

的单调递减区间;
(II) 若

\exists b \in R

, 使不等式

- x + b ⩽ f (x) ⩽ k x + b

对

\forall x \in [1, 7]

恒成立, 求

k

的最小值

g (a)

及

g (a)

的最小值.

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22. 定义 1 : 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义 2: 集合

X

上的一个拓扑(topology)乃是

X

的子集为元素的一个族

Γ

, 它满足以下条件: (1)

\emptyset

和

X

在

Γ

中; (2)

Γ

的任意子集的元素的并在

Γ

中; (3)

Γ

的任意有限子集的元素的交在

Γ

中.
(I) 族

P = {\emptyset, X}

, 族

Q = {x ∣ x \subseteq X}

, 判断族

P

与族

Q

是否为集合

X

的拓扑;
(II) 设有限集

X

为全集.
(i) 证明:

∁_{X} (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = (∁_{X} A_{1}) \cup (∁_{X} A_{2}) \cup \dots \cup (∁_{X} A_{n}) (n \in N^{*})

;
(ii) 族

Γ

为集合

X

上的一个拓扑, 证明: 由族

Γ

所有元素的补集构成的族

Γ_{f}

为集合

X

上的一个拓扑.

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