数学试题讲解

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定义 1 : 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义 2: 集合

X

上的一个拓扑(topology)乃是

X

的子集为元素的一个族

Γ

, 它满足以下条件: (1)

\emptyset

和

X

在

Γ

中; (2)

Γ

的任意子集的元素的并在

Γ

中; (3)

Γ

的任意有限子集的元素的交在

Γ

中.
(I) 族

P = {\emptyset, X}

, 族

Q = {x ∣ x \subseteq X}

, 判断族

P

与族

Q

是否为集合

X

的拓扑;
(II) 设有限集

X

为全集.
(i) 证明:

∁_{X} (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = (∁_{X} A_{1}) \cup (∁_{X} A_{2}) \cup \dots \cup (∁_{X} A_{n}) (n \in N^{*})

;
(ii) 族

Γ

为集合

X

上的一个拓扑, 证明: 由族

Γ

所有元素的补集构成的族

Γ_{f}

为集合

X

上的一个拓扑.