定义 1 : 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义 2: 集合 $X$ 上的一个拓扑(topology)乃是 $X$ 的子集为元素的一个族 $\Gamma$, 它满足以下条件: (1) $\varnothing$ 和 $X$ 在 $\Gamma$ 中; (2) $\Gamma$ 的任意子集的元素的并在 $\Gamma$ 中; (3) $\Gamma$ 的任意有限子集的元素的交在 $\Gamma$ 中.
(I) 族 $P=\{\varnothing, X\}$, 族 $Q=\{x \mid x \subseteq X\}$, 判断族 $P$ 与族 $Q$ 是否为集合 $X$ 的拓扑;
(II) 设有限集 $X$ 为全集.
(i) 证明: $\complement_X\left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right)=\left(\complement_X A_1\right) \cup\left(\complement_X A_2\right) \cup \cdots \cup\left(\complement_X A_n\right)\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$;
(ii) 族 $\Gamma$ 为集合 $X$ 上的一个拓扑, 证明: 由族 $\Gamma$ 所有元素的补集构成的族 $\Gamma_f$ 为集合 $X$ 上的一个拓扑.