单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, 无穷小 $\alpha=\sqrt{1+x \cos x}-\sqrt{1+\sin x}, \beta=\int_0^{\mathrm{e}^{2 x}-1} \frac{\sin ^2 t}{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\cos (\tan x)-\cos x$的阶数由低到高的次序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{C.}$ $\gamma, \alpha, \beta$
$\text{D.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内二阶连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+2 f^{\prime \prime}(x)}{x-x^2}=4$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
$\text{B.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 为 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 既不是 $f(x)$ 的极值点, 也不是 $f(x)$ 的拐点
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)$ 收敛
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 一定收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 一定收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(a_n \neq 0\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 收敛
$\text{D.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,则下列结论错误的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \sim \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 且 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^{-1}+\boldsymbol{B}^*$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,1 ; 1,4 ; 0)$, 则 $P\{X Y>X\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $T=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2+T}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{(n-1)}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x+\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)^{\frac{x}{\arctan x-x}}=$
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{|x|}{1+\sin x} \mathrm{~d} x=$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=x(x>0)$, 且 $f(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$, 则 $f(x)$ 的极大值点和极大值分别为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}\left(1+\cos \frac{i \pi}{n}\right)^2=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化, 则 $a=$
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < 2, \\ 1+\frac{a}{x^3}, & x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 且 $Y=2 X+1$, 则 $D(Y)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-t} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln ^2(1+x)^0}-\frac{1}{x}\right]$.
设 $0 < a_1 < 1, a_{n+1}=\ln \left(2-a_n\right)+a_n$, 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
已知 $z=f\left(x^2, x+y+z\right)$, 其中 $f$ 连续可偏导, 且 $\mathrm{e}^{y+z}=x^2+z$, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+n+1}{2 n+1} x^{2 n}$ 的和函数.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & b \\ 2 & c & -2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & d_1 & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
(I) 求常数 $a, b, c$;
(II) 判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化, 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化,则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵, 反之说明理由.
设 $X \sim N(0,1), Y \sim U(-1,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立.
(I) 求 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f(x, y)$;
(II) 若 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$;
(III) 求 $D(Z)$.
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{\theta^2}, 0 < x < \theta, \\ 0, \quad \text { 其他, }\end{array}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)\right.$ 为来自总体 $X$的简单随机样本.
(I) 求参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1$, 判断其无偏性;
(II) 求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_2$;
(III) 求 (II) 中 $\hat{\theta}_2$ 的概率密度函数.