单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
对任意两个事件 $A$ 和 $B$, 有 $p(A-B)=$
$\text{A.}$ $p(A)-P(B)$;
$\text{B.}$ $p(A)-P(B)+P(A B)$;
$\text{C.}$ $p(A)-p(A B)$ :
$\text{D.}$ $p(A)+P(\bar{B})-P(\overline{A \bar{B}})$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且 $p(X=-1)=p(Y=-1)=0.5$, $p(X=1)=p(Y=1)=0.5$, 则
$\text{A.}$ $p(X=Y)=0.5$
$\text{B.}$ $p(X=Y)=1$
$\text{C.}$ $p(X+Y=0)=0.25$
$\text{D.}$ $p(X Y=1)=0.25$
设 $\theta$ 为总体 $X$ 的末知参数, $\theta_1, \theta_2$ 为统计量, $\left(\theta_1, \theta_2\right)$ 为 $\theta$ 的置信度 是 $1-\alpha(0 < \alpha < 1)$ 的置信区间, 则有
$\text{A.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{B.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=1-\alpha$
$\text{C.}$ $p\left(\theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{D.}$ $p\left(\theta_1 < \theta\right)=1-\alpha$
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$. 且 $p(2 < X < 4)=0.3$, 则 $p(X < 0)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本, 作为 $E X$ 的无偏估计中, 最有效的是
$\text{A.}$ $\frac{3}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2$,
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} X_1+\frac{3}{4} X_2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{2}{3} X_2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设事件 $A$ 和 $B$ 互不相容, 且 $p(A)=\frac{1}{5}, p(B)=\frac{1}{2}$. 则 $p(A+B)=$
某篮球队员的投篮命中率为 0.5 , 则该队员投 3 次全中的概率是
掷一枚均匀的骰子一次, 可得点数不是 6 的概率为
设随机变量 $X \sim B(2, p)$, 若 $p(X \geq 1)=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布, 则 $P\{X \geq 0\}=$
甲, 乙, 丙三人同时射击某一目标, 设甲, 乙, 丙命中的概率分别是 $0.5,0.8,0.6$, 则目标被击中的概 率
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, $Y=3 X-2$, 则 $E(X Y)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则样本均值 $\bar{X} \sim N$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $X+Y=0$. 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 且 $p(A \bar{B})=p(\bar{A} B)=0.25$, 求 $p(A)$ 和 $p(B)$.
已知离散型随机变量的 $X$ 分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < -1 \\
0.4 & -1 \leq x < 1 \\
0.6 & 1 \leq x < 2 \\
1 & x \geq 2
\end{array} \text {, 求 }(1) X \text { 的概率分布; (2) } p(x < 2 \mid x \neq 1)\right. \text {. }
$$
设随机变量 $X$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上服从均匀分布,
求: (1) $X$ 的分布函数 $F(x)$ :
(2) $Y=e^X$ 的概率密度 $f_Y(y)$.
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A+B e^{-2 x} & x>0 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 : (1) $A, B$ 的值： (2) $p(-2 < x \leq 2)$ ：(3) $X$ 的概率密度函数.
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y & 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 (1) $p(X < Y)$ ：(2). $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)$.
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本, $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{c}\theta x^{0-1}, 0 < x < 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$, 其中 $\theta>0$, 求
㟥数 $\theta$ 的最大似然估计
一学校有 1000 名住校生，每人都以 $80 \%$ 的概率去图书馆上自习，用中心极限定理求：图书馆至少应设 置多少个座位，才能以 $99 \%$ 的概率保证去上自习的学生都有座位? $(\Phi(2.33)=0.99)$
某味精厂用一台包装机包装味精，每袋质量 X(单位:g)服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 根据要求, 每袋质量应 为 $100 \mathrm{~g}$. 由于长期实跷表明标准差比较稳定, 且 $\sigma=0.5 \mathrm{~g}$. 现从某天包装的味精中抽取 9 袋, 测得 $\bar{x}=99.62 \mathrm{~g}$ ，问这一天包装机的工作是否正常? $\left(\alpha=0.05, u_{\alpha / 2}=1.96\right)$
（证明题）设 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布，证明: $Y=2 X^2$ 的密度函数当 $0 < y < 8$ 时， $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}$.