题号:
6564
题型:
解答题
来源:
2023年《概率论与数理统计》期末考试模拟卷
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y & 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 (1) $p(X < Y)$ ：(2). $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)$.
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答案：
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20. (1) $p(X < Y)=\iint_{x < y} f(x, y) d x d y=\int_0^1 d x \int_x^1 4 x y d y=\frac{1}{2} ; $
(2) 当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $X$ 的边缘概率密度 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\int_0^1 4 x y d y=2 x$, 当 $x < 0$ 或 $x>1$ 时, $f_X(x)=0$, 即 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text { else }\end{array}\right.$;
同样可得: $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 y & 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text { else }\end{array}\right.$
因为 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$, 所以 $X$ 与 $Y$ 相互独立,
$$
\operatorname{cov}(X, Y)=E(X Y)-E X E Y=E X E Y-E X E Y=0
$$
于是 $X$ 与 $Y$ 不相关, 即有 $\rho_{X X}=0$
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