2023年《概率论与数理统计》期末考试模拟卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设随机变量 $X$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上服从均匀分布,
求: (1) $X$ 的分布函数 $F(x)$ :
(2) $Y=e^X$ 的概率密度 $f_Y(y)$.

答案：

(1) 因为 $X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text { else }\end{array}\right.$, 所以当 $x < 1$ 时, $F(x)=0$, 当 $1 \leq x \leq 2$ 时,
$$
\begin{aligned}
& F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) d t=\int_1^x d t=x-1 \text {; 当 } x \geq 2 \text { 时, } F(x)=1 . \\
& \text { 即 } F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 1 \\
x-1 & 1 \leq x \leq 2 . \\
1 & x>2
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
(2) 因为 $Y$ 的分布函数为
$$
\begin{aligned}
& H(y)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & y < e \\
\ln y-1 & e \leq y \leq e^2 \\
1 & y>e^2
\end{array} \text { 所以 } Y\right. \text { 的概率密度函数为 } \\
& f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{y} & e \leq y \leq e^2 \\
0 & \text { else }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

关闭页面下载Word格式