单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 < 0\right\}, B=\{x \mid x \geqslant-1\}$ ，则 $A \cup B=$
$\text{A.}$ $(-1,3)$
$\text{B.}$ $[-1,3)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 3)$
已知复数 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{25} \mathrm{i}$
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_3=23, a_6=11$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 中正数项共有
$\text{A.}$ 7 项
$\text{B.}$ 8 项
$\text{C.}$ 9 项
$\text{D.}$ 10 项
如图，有两个正六边形，$G$ 为 $B C$ 的中点．若 $\overrightarrow{J F}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{B C}$ ，则 $x+y=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $-\frac{15}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{15}{4}$
已知函数 $f(x)=\left|\log _3(x-1)\right|+\left|\log _3(x+1)\right|$ ，则函数 $f(x)$ 的最小值为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\log _3 2$
$\text{D.}$ $\log _3 4$
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ ，过左焦点 $F_1(-c, 0)$ 作斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线 $l_1$ ，过右焦点 $F_2(c, 0)$ 作斜率为 -3 的直线 $l_2$ ，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
已知正四梭台的侧棱长为 $5 \sqrt{2}$ ，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ ，且所有顶点在同一球面上，则此正四棱台外接球的表面积是
$\text{A.}$ $25 \pi$
$\text{B.}$ $100 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{500 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $500 \pi$
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a^2=\frac{1}{2} c^2+b^2$ ，则 $\tan (A-B)$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ ，则
$\text{A.}$ $B C_1 \perp$ 平面 $A_1 B_1 D$
$\text{B.}$ $B D_1 \perp$ 平面 $A_1 B_1 D$
$\text{C.}$ $B C_1 / /$ 平面 $A B_1 D_1$
$\text{D.}$ $A C / /$ 平面 $A_1 B_1 D$
已知函数 $f(x)=\cos x, x \in\left[a-\frac{\pi}{6}, a+\frac{\pi}{6}\right]$ ，其中 $a$ 是常数，则
$\text{A.}$ 对任意 $a \in[0, \pi], f(x)$ 的最大值是 1
$\text{B.}$ 存在 $a \in[0, \pi]$ ，使得 $f(x)$ 的最小值是 -1
$\text{C.}$ 对任意 $a \in[0, \pi]$ ，存在 $x$ ，使得 $f(x) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ 对任意 $a \in[0, \pi]$ ，存在 $x$ ，使得 $f(x) \geqslant-\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2, l_1$ 与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点，$l_2$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，$P Q$ 的中点为 $G, M N$ 的中点为 $H$ ，则
$\text{A.}$ $\frac{1}{|P F|}+\frac{1}{|Q F|}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $|P Q| \cdot|M N|=64$
$\text{C.}$ $|G H|$ 的最小值为 8
$\text{D.}$ $\triangle O G H$ 面积的最小值为 24 （ $O$ 为坐标原点）
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)^6$ 的展开式的第四项为
写出一个同时满足下列条件（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ 的解析式：$f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．（答案不唯一）
（1）$f^{\prime}(x)=2 x-4$ ；（2）$f(x)$ 恰有两个不同的零点；（3）$f(1) \leqslant 0$
将 6 枚硬币正面朝上排成一行，按照下列规则操作每一次的动作：抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为 $k$ ，则将排成一行的这 6 枚硬币最左边的 $k$ 枚硬币都翻转一次．进行三次操作后， 6 枚硬币中恰有 2 枚硬币正面朝上的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，$\triangle A B C$ 是斜边 $A B=2 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，正三角形 $P A C$ 所在平面与三角形 $A B C$ 所在平面垂直，梯形 $B C M N$ 中，$M N / / B C, B N \perp B C, B N=\sqrt{3}, M N=1$ ，且梯形 $B C M N$ 所在平面与三角形 $A B C$ 所在平面垂直．
（1）求证：平面 $P M N / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求平面 $P M C$ 与平面 $P A N$ 夹角的余弦值．
某高校人工智能实验室组织＂AI 编程挑战赛＂，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{4}$ ；系统乙：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{2}$ ；系统丙：每次抽奖中奖概率为 $\frac{1}{2}$ ．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响．
（1）若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率．
（2）若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖．
方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖 3 次，则奖励价值 60 元的 AI 学习包；若中奖 2 次，则奖励价值 35 元的 AI 学习包；其他情况无奖励．
方案二：在系统甲中抽奖 3 次，中奖次数决定奖励价值，若中奖 3 次，则奖励价值 80 元的 AI 学习包；若中奖 2 次，则奖励价值 50 元的 AI 学习包；其他情况无奖励．
通过计算获得 AI 学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $3\left(S_n+n\right)$ 与 2 的等差中项是 $2\left(a_n+1\right)$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列；
（2）记 $T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ ，试判断 $T_n$ 与 $\frac{2\left(3 a_n+2\right)}{5\left(a_n+1\right)}$ 的大小关系，并给出证明．
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左焦点为 $F(-1,0)$ ，直线 $y=k x(k \neq 0)$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点．
（1）求 $|F P|+|F Q|$ 的值．
（2）若点 $M$ 在椭圆上（与点 $P, Q$ 不重合），直线 $M P$ 的斜率与直线 $M Q$ 的斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$ ．
（i）求证：＂$k k_1=-1$＂的充要条件是＂$k=2 k_2$＂；
（ii）若 $k=2 k_2$ ，求 $\triangle M P Q$ 面积的最大值．
已知函数 $f(x)=x^2 \ln x+a$ ，记 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）若 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ ．
（i）求实数 $a$ 的值；
（ii）若 $x_1 < x_2, f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$ ，证明：$x_1 x_2^3 < \mathrm{e}^{-5}$ ．
（2）是否存在 $a>0$ ，使得 $g(x)=f(x)-a \ln x$ 的最小值为 $\mathrm{e}^2$ ？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．