已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $3\left(S_n+n\right)$ 与 2 的等差中项是 $2\left(a_n+1\right)$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列；
（2）记 $T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ ，试判断 $T_n$ 与 $\frac{2\left(3 a_n+2\right)}{5\left(a_n+1\right)}$ 的大小关系，并给出证明．