已知函数 $f(x)=x^2 \ln x+a$ ，记 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）若 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ ．
（i）求实数 $a$ 的值；
（ii）若 $x_1 < x_2, f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$ ，证明：$x_1 x_2^3 < \mathrm{e}^{-5}$ ．
（2）是否存在 $a>0$ ，使得 $g(x)=f(x)-a \ln x$ 的最小值为 $\mathrm{e}^2$ ？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．