单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 为随机事件，若 $P(C)>0$ ，且
$$
P(A \cup B \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C) .
$$
则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A \cup B \mid \bar{C})=P(A \mid \bar{C})+P(B \mid \bar{C})$ ；
$\text{B.}$ $P(A \cup B)=P(A \mid C)+P(B \mid C)$ ；
$\text{C.}$ $P(C)=P(A) P(C \mid A)+P(B) P(C \mid B)$ ；
$\text{D.}$ $P(C(A \cup B))=P(A C)+P(B C)$ ．
下列各函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $G_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty < x < +\infty$ ；
$\text{B.}$ $G_2(x)=\sin x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ；
$\text{C.}$ $G_3(x)= \begin{cases}\frac{1}{1+x}, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0 ;\end{cases}$
$\text{D.}$ $G_4(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ 0.6, & x=0, \\ 1, & x>0 .\end{cases}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,1)$ ，则 () ．
$\text{A.}$ $P(X+Y \leqslant 0)=\frac{1}{2}$ ；
$\text{B.}$ $P(X+Y \leqslant 1)=\frac{1}{2}$ ；
$\text{C.}$ $P(X-Y \leqslant 0)=\frac{1}{2}$ ；
$\text{D.}$ $P(X-Y \leqslant 1)=\frac{1}{2}$ ．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的一个样本， $\bar{X}, S^2$ 分别为样本均值和方差，则（ ）。
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(\mu, 1)$ ；
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$ ；
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n-1}} \sim t(n)$ ．
对正态分布的数学期望 $E(X)=\mu$ 进行检验，如果在显著性水平 $\alpha=0.05$下接受原假设 $H_0: \mu=\mu_0$ ．那么在显著性水平 $\alpha=0.01$ 下，下列结论中正确的是（ ）。
$\text{A.}$ 必接受 $H_0: \mu=\mu_0$ ；
$\text{B.}$ 可能接受，也可能拒绝 $H_0: \mu=\mu_0$ ；
$\text{C.}$ 必拒绝 $H_0: \mu=\mu_0$ ；
$\text{D.}$ 不接受，也不拒绝 $H_0: \mu=\mu_0$ ．
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则随机变量 $Y=\max (X, 2)$ 的分布函数（ ）。
$\text{A.}$ 是连续函数；
$\text{B.}$ 是阶梯函数；
$\text{C.}$ 至少有两个间断点；
$\text{D.}$ 恰好有一个间断点．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则事件＂两数之积大于 $\frac{1}{4}$＂的概率为
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 $p(0 < p < 1)$ 的 $(0-1)$ 分布．令随机变量
$$
Z= \begin{cases}1, & X+Y \text { 为偶数, } \\ 0, & X+Y \text { 为奇数. }\end{cases}
$$
要使 $X$ 和 $Z$ 相互独立，则 $p=$
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自正态总体 $X \sim N(1,4)$ 的一个样本，则样本的联合函数密度为 $f_n\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=$
设随机变量 $X_{i j}$ 相互独立并且服从同一分布，$E\left(X_{i j}\right)=3(i, j=1,2)$ ，则行列式 $Y=\left|\begin{array}{ll}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right|$ 的数学期望 $E(Y)=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，用切比雪夫不等式估计概率 $P(|X-2| \geqslant 4) \leqslant$
设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^2$ 在 $(0,4)$ 内的概率密度函数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有两个盒子内装有同型号的电子元件．已知甲盒中有 5 个正品， 3 个次品；乙盒中有 4 个正品， 3 个次品．现从甲盒中任取 3 个元件放入乙盒中，然后再从乙盒中任取一个元件．
（1）求从乙盒中取出的一个元件是次品的概率；
（2）已知从乙盒中取出的一个元件是正品，求最先从甲盒中取出的 3 个元件都是正品的概率．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & x+y>2, x \leqslant 2, y \leqslant 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：随机变量 $Z=X+Y$ 的密度 $f_Z(z)$ 。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x, & 0 < x < y < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：（1）$X$ 和 $Y$ 的边缘密度；
（2）条件密度 $f_{Y \mid X}\left(y \left\lvert\, x=\frac{1}{3}\right.\right)$ ；
（3）$P(X+Y < 1)$ ．
城市超市的第一分店经销某种水果，每周进货量 $X$ 与顾客的需求量 $Y$ 相互独立，且都服从 $[10,20]$ 上的均匀分布．每售出 1 kg 可获利 20 元，若脱销则从其他门店调剂，这时每售出 1 kg 可获利 5 元，求该店经销这种水果的周利润的期望值．
已知总体 $X$ 的分布函数 $F(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\left(\frac{1}{x}\right)^\theta, & x>\alpha, \\ 0, & x \leqslant \alpha,\end{array}\right.$ 其中 $\theta>1$ ， $X_1 \sim X_n$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本．
求：（1）$X$ 的密度函数 $f(x)$ ；
（2）参数 $\theta$ 的矩估计和极大似然估计．
某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过 0.9 年．现随机地抽取了 10 个蓄电池，测得样本的标准差为 1.2 年．假定使用寿命 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知．取显著性水平 $\alpha=0.05$ ，检验使用寿命的标准差是否不超过 0.9 年．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的一个样本．已知 $E\left(X^k\right)=a_k(k=1,2,3,4$ ）．证明：当 $n$ 充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布 $N\left(a_2, \frac{a_4-a_2^2}{n}\right)$.