解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1,\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n} < 2$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+2 a_n$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=4 n^2 a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n+a_n=\frac{n-1}{n^2+n}, n \in \mathbf{N}^*$ ．
（1）证明：数列 $\left\{S_n-\frac{1}{n+1}\right\}$ 为等比数列；
（2）记 $\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n+1}-S_n$ ，求数列 $\left\{\frac{b_n}{\left(b_n-1\right)\left(b_{n+1}-1\right)}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $(n+3) S_n=n S_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，且 $a_1=2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{\sqrt[4]{a_1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{a_n}}>2 \sqrt{n+1}-2$ ．
已知在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1+a_5=18, a_6=15$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{n-1} a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
（1）求证：数列 $\left\{\frac{2}{a_n-3}\right\}$ 是等差数列；
（2）记数列 $b_n=\left(a_n-3\right)\left(a_{n+1}-3\right)$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $a_1=\frac{1}{2}, a_n+S_{n-1} S_n=0(n \geq 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{(2 n+1) a_n^2\right\}$ 的前 $n$ 项和．
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n^2+2 a_n-n=2 S_n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=3^{a_n}-1$ ，若数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=\frac{b_n+1}{b_n \cdot b_{n+1}}$ ，求证：$c_1+c_2+...+c_n < \frac{1}{4}$ ．
设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{n a_n}{3}$ ．已知 $a_1, 3 a_2, 9 a_3$ 成等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_n$ 和 $T_n$ 分别为 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_n < \frac{S_n}{2}$ ．
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_2=1,2 S_n=n a_n$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且满足
$a_1+a_3=b_1+b_2+b_3, a_2+a_4=b_2+b_4$ ．将数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列 $\left\{c_n\right\}$ ．
（1）证明：$c_n=b_{2 n}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_n c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=3, a_{n+1}=a_n+4 n+3$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n=c \cdot 3^{n+1}-\frac{3}{2} \cdot n \in \mathrm{~N}^*$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{\frac{a_n}{n b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，试证明 $T_n < 2$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=3, \frac{S_n}{n}=\frac{S_{n-1}}{n-1}+1(n \geq 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）令 $b_n=2^n \cdot a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是 2 ，若对满足 $m+n \leq 5$ 的任意正整数 $m, n$ ，均有 $a_m+a_n=a_{m+n}$ 成立．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）令 $b_n=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．