已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且满足
$a_1+a_3=b_1+b_2+b_3, a_2+a_4=b_2+b_4$ ．将数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列 $\left\{c_n\right\}$ ．
（1）证明：$c_n=b_{2 n}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_n c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．