单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知随机事件 $A, B$ 满足 $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1,0 < P(A), P(B) < $ 1 ，则（ ）．
$\text{A.}$ 随机事件 $A, B$ 不相容；
$\text{B.}$ 随机事件 $A, B$ 为对立事件；
$\text{C.}$ 随机事件 $A, B$ 相互独立；
$\text{D.}$ 随机事件 $A, B$ 不相互独立．
已知 $F_X(x), F_Y(y)$ 分别是随机变量 $X$ 与 $Y$ 的分布函数，若函数 $F_Z(z)= k F_X(z)-l F_Y(z)$ 是随机变量 $Z$ 的分布函数，则（ ）．
$\text{A.}$ $k=\frac{2}{3}, l=\frac{1}{3}$ ；
$\text{B.}$ $k=\frac{3}{5}, l=-\frac{2}{5}$ ；
$\text{C.}$ $k=-\frac{1}{2}, l=\frac{3}{2}$ ；
$\text{D.}$ $k=\frac{1}{2}, l=-\frac{3}{2}$ ．
设 $X \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0.3 & 0.7\end{array}\right), Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0.3 & 0.7\end{array}\right)$ ，若 $X, Y$ 相互独立，则必有 ．
$\text{A.}$ $X=Y$ ；
$\text{B.}$ $P(X=Y)=1$ ；
$\text{C.}$ $P(X=Y)=0$ ；
$\text{D.}$ 以上（A），（B），（C）都不对。
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}$ 为样本 $\left(X_1, X_2\right)$ 的均值，则下列 $\mu$ 的无偏估计中最有效的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$ ；
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{2}{3} X_2$ ；
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}+\frac{1}{2} X_2$ ；
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} \bar{X}+\frac{2}{3} X_2$ ．
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立并且服从同一分布，其中 $\sigma^2>0, \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则 ．
$\text{A.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\frac{\sigma^2}{n}$ ；
$\text{B.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\sigma^2$ ；
$\text{C.}$ $D\left(X_1+\bar{X}\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^2$ ；
$\text{D.}$ $D\left(X_1-\bar{X}\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^2$ ．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 未知参数，$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体的一个样本．$S^2$ 为样本方差，对假设检验 $H_0: \sigma^2=2^2 ; H_1: \sigma^2 < 2^2$ ，检验水平 $\alpha$ 的拒绝域是 ．
$\text{A.}$ $\left[0, \chi_{1-\frac{a}{2}}^2(n-1)\right]$ ；
$\text{B.}$ $\left[0, \chi_{1-a}^2(n-1)\right]$ ；
$\text{C.}$ $\left(-\infty, \chi_{1-\frac{a}{2}}^2(n-1)\right]$ ；
$\text{D.}$ $\left(-\infty, \chi_{1-\alpha}^2(n-1)\right]$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设事件 $A, B$ ，已知 $P(\bar{A})=0.3, P(B)=0.4, P(A-B)=0.5$ ，则 $P(B$｜ $A \cup \bar{B})=$
设测量的随机误差 $X \sim N(0,100)$ ，则测量误差的绝对值大于 19.6 的概率为
设随机变量 $X$ 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x^2, & x \in(0,1) \\ 0, & x \notin(0,1)\end{array}\right.$ ，若随机变量 $Y$ 表示对 $X$ 的三次独立观察中事件 $\left(X \leqslant \frac{2}{3}\right)$ 出现的次数，则 $P(Y=0)=$
设随机变量 $X$ 服从自由度为 $(n, n)$ 的 $F$ 分布，已知 $P(X>\alpha)=0.05$ ，则 $P\left(X>\frac{1}{\alpha}\right)=$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$ 已知．为使总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间的长度不大于 $L$ ，则样本容量 $n$ 至少应取 $\_\_\_\_$ ．（只需给出表达式）
设 $X$ 服从区间 $(-1,1)$ 内均匀分布，则 $X$ 与 $Y=|X|$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲、乙、丙 3 位同学同时独立参加数学考试，不及格的概率分别为 0.4 ， $0.3,0.5$ ．
（1）求恰有 2 位同学不及格的概率；
（2）如果已经知道这 3 位同学中有 2 位不及格，求其中 1 位是乙同学的概率．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2 x-y}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：随机变量 $Z=\max \{X, Y\}$ 的 $E(Z)$ 。
某商厦出售某种品牌奢侈品，根据以往的经验，该奢侈品每周销售量服从 参数为 1 的泊松分布．假设各周的销售量是相互独立的．用中心极限定理计算该商厦一年内（ 52 周）售出该奢侈品件数在 50 件至 70 件之间的概率．
设总体 $X \sim f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & x \in[0,1] \\ 0, & x \notin[0,1]\end{array} \quad(\theta>0\right.$ 未知 $),\left(X_1\right.$, $X_2, \cdots, X_n$ ）为来自总体的一个样本．求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体的一个样本．求常数 $k$ ，使得 $k \sum_{i=1}^n\left|X_i-\bar{X}\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计。
从一批灯泡中随机抽取 10 个灯泡进行寿命测试，得样本均值 $\bar{x}=2900$（单位：h），标准差 $s=225$ ．设灯泡寿命 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知，以 $\alpha=0.1$ 检验水平作如下检验：
（1）整批灯泡的平均使用寿命是否大于 3 000？
（2）整批灯泡的使用寿命的标准差是否为 230 ？
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续型随机变量 $X$ 的一切可能取值在 $(-9,11)$ 内，其密度函数为 $f(x)$ ．证明：
$$
D(X) \leqslant 100 .
$$