单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则$F'(x)$ 等于
$\text{A.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{B.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{C.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{D.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则当 $n$ 为大于 2 的正整数时, $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{n}(x)$ 是
$\text{A.}$ $n ![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $n ![f(x)]^{2 n}$
设 $\alpha$ 为常数, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^{2}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内连续, 且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$, 则在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不可导
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ 取得极大值
$\text{D.}$ 取得极小值
已知 $\beta_{1} 、 \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\alpha_{1} 、 \alpha_{2}$ 是对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数, 则方程组 $A x=b$ 的通解 (一般解) 必是
$\text{A.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{B.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
$\text{C.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{D.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}-\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=-t+2 \\ y=3 t-4 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 垂直的平面方程是
设 $a$ 为非零常数, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
已知向量组 $\alpha_{1}=(1,2,3,4), \alpha_{2}=(2,3,4,5), \alpha_{3}=(3,4,5,6), \alpha_{4}=(4,5,6,7)$, 则该向量的秩是
已知随机变量的概率密度函数 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty < x < \infty$ 则 $X$ 的概率分布函数 $F(X)=$
设随机事件 $A 、 B$ 及其和事件 $A \cup B$ 的概率分别是 $0.4 、 0.3$ 和 $0.6$, 若 $\bar{B}$ 表示 $B$ 的对立事件, 那么积事件 $A \bar{B}$ 的概率 $P(A \bar{B})=$
已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松 (Poisson) 分布, 即 $P\{X=k\}=\frac{2^{k} e^{-2}}{k !}, k=0,1,2 \cdots$, 则随机变量 $Z=3 X-2$ 的数学期望 $E(Z)=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{(2-x)^{2}} dx $
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ , 其中 $ f(u, v) $ 具有连续的二阶偏导数, 求 $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-2 x}$ 的通解（一般解)
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ 的收敛域, 并求其和函数。
求曲面积分 $I=\iint_{S} y z d z d x+2 d x d y$,
其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧在 $z \geq 0$ 的部分
设不恒为常数的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 在开区间 $(a, b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)$ 。证明在 $(a, b)$ 内至少存
在一点 $\xi$, 使 $f^{\prime}(\xi)>0$ 。
设四阶矩阵 $B=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
且矩阵 $A$ 满足关系式 $A\left(E-C^{-1} B\right)^{T} C^{T}=E$,
其中 $E$ 为四阶单位矩阵, $C^{-1}$ 表示 $C$ 的转逆阵, $C^{T}$ 表示 $C$ 的转置矩阵。将上述关系式简化并求矩阵 $A$.
求一个正交变换, 化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 为标准型。
质点 $P$ 沿着以 $A B$ 为直径的半圆周, 从点 $A(1,2)$ 运动到点 $B(3,4)$ 的过程中受变力 $F$ 作用（见图）。 $F$ 的大小等于 点 $P$ 与原点 $O$ 之间的距离, 其方向垂直于线段 $O P$ 且与 $y$ 轴正向的夹角小于 $\frac{\pi}{2}$, 求变力 $F$ 对质点 $P$ 所作的功
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D: 0 < x < 1,|y| < x$ 内服从均匀分布, 求关于 $X$ 的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2 X+1$ 的方差 $D(Z)$ 。
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形，求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
求微分方程 $x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$ 的特解.