1990年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

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1990年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续函数, 且

f^{'} (x) = [f (x)]^{2}

, 则

F^{'} (x)

等于

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

C.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

D.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

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2. 已知函数

f (x)

具有任意阶导数, 且

f^{'} (x) = [f (x)]^{2}

, 则当

n

为大于 2 的正整数时,

f (x)

的

n

阶导数

f^{n} (x)

是

A.

n! [f (x)]^{n + 1}

B.

n [f (x)]^{n + 1}

C.

[f (x)]^{2 n}

D.

n! [f (x)]^{2 n}

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3. 设

α

为常数, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{\sin n α}{n^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n}})

A.

绝对收敛

B.

条件收敛

C.

发散

D.

收敛性与

α

的取值有关

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4. 已知

f (x)

在

x = 0

的某个领域内连续, 且

f (0) = 0, lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1 - \cos x} = 2

, 则在点

x = 0

处

A.

不可导

B.

可导, 且

f^{'} (0) = 0

C.

取得极大值

D.

取得极小值

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5. 已知

β_{1} 、 β_{2}

是非齐次线性方程组

A x = b

的两个不同的解,

α_{1} 、 α_{2}

是对应齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系,

k_{1}, k_{2}

为任意常数, 则方程组

A x = b

的通解 (一般解) 必是

A.

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} + α_{2}) + \frac{β_{1} - β_{2}}{2}

B.

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} - α_{2}) + \frac{β_{1} + β_{2}}{2}

C.

k_{1} α_{1} + k_{2} (β_{1} + β_{2}) + \frac{β_{1} - β_{2}}{2}

D.

k_{1} α_{1} + k_{2} (β_{1} - β_{2}) + \frac{β_{1} + β_{2}}{2}

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 过点

M (1, 2, - 1)

且与直线

{\begin{cases} x = - t + 2 \\ y = 3 t - 4 \\ z = t - 1 \end{cases}

垂直的平面方程是

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7. 设

a

为非零常数, 则

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x - a})}^{x} =

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8. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1, & | x | \leq 1, \\ 0, & | x | > 1, \end{cases}

则

f [f (x)] =

（　　）

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9. 积分

\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{- y^{2}} d y

的值等于

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10. 已知向量组

α_{1} = (1, 2, 3, 4), α_{2} = (2, 3, 4, 5), α_{3} = (3, 4, 5, 6), α_{4} = (4, 5, 6, 7)

, 则该向量的秩是

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11. 已知随机变量的概率密度函数

f (x) = \frac{1}{2} e^{- | x |}, - \infty < x < \infty

则

X

的概率分布函数

F (X) =

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12. 设随机事件

A 、 B

及其和事件

A \cup B

的概率分别是

0.4 、 0.3

和

0.6

, 若

\bar{B}

表示

B

的对立事件, 那么积事件

A \bar{B}

的概率

P (A \bar{B}) =

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13. 已知离散型随机变量

X

服从参数为 2 的泊松 (Poisson) 分布, 即

P {X = k} = \frac{2^{k} e^{- 2}}{k!}, k = 0, 1, 2 \dots

, 则随机变量

Z = 3 X - 2

的数学期望

E (Z) =

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 求

\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{(2 - x)^{2}} d x

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15. 设

z = f (2 x - y, y \sin x)

, 其中

f (u, v)

具有连续的二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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16. 求微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解（一般解)

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17. 求幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1) x^{n}

的收敛域, 并求其和函数。

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18. 求曲面积分

I = \iint_{S} y z d z d x + 2 d x d y

,
其中

S

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

外侧在

z \geq 0

的部分

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19. 设不恒为常数的函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续, 在开区间

(a, b)

内可导, 且

f (a) = f (b)

。证明在

(a, b)

内至少存
在一点

ξ

, 使

f^{'} (ξ) > 0

。

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20. 设四阶矩阵

B = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})

且矩阵

A

满足关系式

A {(E - C^{- 1} B)}^{T} C^{T} = E

,
其中

E

为四阶单位矩阵,

C^{- 1}

表示

C

的转逆阵,

C^{T}

表示

C

的转置矩阵。将上述关系式简化并求矩阵

A

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21. 求一个正交变换, 化二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} - 8 x_{2} x_{3}

为标准型。

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22. 质点

P

沿着以

A B

为直径的半圆周, 从点

A (1, 2)

运动到点

B (3, 4)

的过程中受变力

F

作用（见图）。

F

的大小等于点

P

与原点

O

之间的距离, 其方向垂直于线段

O P

且与

y

轴正向的夹角小于

\frac{π}{2}

, 求变力

F

对质点

P

所作的功

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23. 设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D : 0 < x < 1, | y | < x

内服从均匀分布, 求关于

X

的边缘概率密度函数及随机变量

Z = 2 X + 1

的方差

D (Z)

。

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24. 过点

P (1, 0)

作抛物线

y = \sqrt{x - 2}

的切线与上述抛物线及

x

轴围成一平面图形，求此图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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25. 求微分方程

x \ln x d y + (y - \ln x) d x = 0

满足条件

{y |}_{x = e} = 1

的特解.

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