单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则 $\delta$
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设当 $x \rightarrow 0$ 时，有 $a x^3+b x^2+c x \sim \int_0^{\ln (1+2 x)} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 ）．
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1, c=0$
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{3}, b=1, c=0$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1,0=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=2, c=0$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3^x+\mathrm{e}^x-2}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不可导
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=\ln ^2 3+1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}(\ln 3+1)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\left(\ln ^2 3+1\right)$
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
已知 $\int f(x) \mathrm{d} x=x^3+C$ ，则 $\int x f\left(1-x^2\right) \mathrm{d} x=()$ ．
$\text{A.}$ $-2\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{B.}$ $2\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^3+C$
若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$G(x)$ 是 $\frac{1}{f(x)}$ 的一个原函数，且 $F(x) G(x)=-1$ ， $f(0)=1$ ．则 $f(x)$ 可能等于（）．
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $e^{-2 x}$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有（）．
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ $N < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < N$
下列广义积分发散的是（ ）．
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}$
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{|x|+y^2}=-3$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处 () ．
$\text{A.}$ 取极大值
$\text{B.}$ 取极小值
$\text{C.}$ 不取极值
$\text{D.}$ 无法确定是否取极值
设 $x^2+y^2 \leqslant 2 a y(a>0)$ ，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标下的累次积分为（）。
$\text{A.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 a \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 a \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 a \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 a \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\pi} \arccos x\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\qquad$ ．
曲线 $y_1(x)=\lim _{a \rightarrow+\infty} \frac{x}{1+x^2-\mathrm{e}^{a x}}, y_2(x)=\frac{1}{2} x$ ，与 $x=1$ 所围图形面积为 $\qquad$ ．
设 $x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)$ 都是由 $F(x, y, z)=0$ 所确定的具有连续偏导数的函数，则 $\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\qquad$ ．
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant t^2\right\}(t>0)$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iint_D \mathrm{e}^{-x^2} \cos x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{t^2}=$ $\qquad$ ．
设微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+a y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ 的特解形式为 $A x \mathrm{e}^{-x}$ ，则其通解为 $\qquad$ ．
设函数 $y=y(x)$ 满足 $\Delta y=\frac{1-x}{\sqrt{2 x-x^2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $y(1)=1$ ，则 $\int_0^1 y(x) \mathrm{d} x=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+a x^2+b x}{x^{2 n}+1}$ 是连续函数，求 $a, b$ ．
设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x(n=1,2,3, \cdots)$ ．
（I）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且 $a_n=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ；
（II）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$ ．
试证 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并由此计算 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
设区域 $D$ 是由 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴围成的区域．
（I）求区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积；
（II）求区域 $D$ 绕直线 $x=3$ 旋转一周所得旋转体的体积．
计算二重积分
$$
I=\int_0^a \mathrm{~d} x \int_{-x}^{-a+\sqrt{a^2-x^2}} \frac{\mathrm{~d} y}{\sqrt{x^2+y^2} \sqrt{4 a^2-\left(x^2+y^2\right)}}(a>0)
$$
设 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 且二阶连续可导，又 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=2$ 且 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，求 $f(x)$ ．