单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X, Y$ 为随机变量，$P\{X Y \leqslant 0\}=\frac{3}{5}, P\{\max \{X, Y\}>0\}=\frac{4}{5}$ ，则 $P\{\min \{X$ ， $Y\} \leqslant 0\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$ ．
对任意正整数 $m, n$ ，随机变量 $X$ 都满足 $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>n\}$ ，记 $P\{X < 1\}=p$ ，则下列结论中一定不正确的是
$\text{A.}$ $p=0$ ．
$\text{B.}$ $p>0$ ．
$\text{C.}$ $p < 1$ ．
$\text{D.}$ $p=1$ ．
在区间 $(-1,1)$ 上任意投一质点，以 $X$ 表示该质点的坐标．设该质点落在 $(-1$ ， 1）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则
$\text{A.}$ $X$ 与 $|X|$ 相关，且相关系数 $|\rho|=1$ ．
$\text{B.}$ $X$ 与 $|X|$ 相关，但 $|\rho| < 1$ ．
$\text{C.}$ $X$ 与 $|X|$ 不相关，也不独立．
$\text{D.}$ $X$ 与 $|X|$ 相互独立．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A$ 为 $3 \times 3$ 方阵， $\alpha _1$ 是 $A$ 关于 $\lambda=1$ 的特征向量， $\alpha _2$ 是 $A x = 0$ 的非零解， $\alpha _3$ 满足 $A \alpha _3= \alpha _1- \alpha _2+ \alpha _3$ ．
（1）证明 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关；
（2）求 $A$ 的特征值、特征向量；
（3）判断 $A$ 能否相似对角化．
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $A ^*$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，$r( A )+r\left( A ^*\right)=n, A ^*$ 的各行元素之和均为 3 ，求 $A ^* x = 0$ 的通解．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & a & 4-a\end{array}\right)$ ，且 $r( A )=2$ ，则 $A ^* x = 0$ 的通解为 $\qquad$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 a x_2 x_3(a < 0)$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为标准形 $f=3 y_1^2+3 y_2^2+b y_3^2$ ．
（1）求实数 $a, b$ ；
（2）求正交阵 $Q$ ；
（3）若 $x ^{ T } x =2$ ，求 $f$ 的最大值．
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A ^2= E$ ，且秩 $r( A + E )=k < n$ ．
（1）求二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形；
（2）证明 $B = E + A + A ^2+ A ^3+ A ^4$ 是正定矩阵，并求行列式 $| B |$ 的值．
设二次型
$$
x ^{T} A x =x_1^2+4 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 c x_2 x_3,
$$
矩阵 $A$ 满足 $A B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 5\end{array}\right)$ ．
（1）用正交变换化二次型 $x ^T A x$ 为标准形，并写出所用正交变换；
（2）求 $( A -3 E )^6$ ．
三元二次型 $A$ 的主对角线元素之和为 $3, A B + B = O$ ，其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求在正交变换下所得到的标准形；
（2）求二次型的表达式；
（3）证明 $r( A + E )+r( A - E )=4$ ；
（4）若 $\beta =(4,5,0)^{ T }$ ，求 $A ^n \beta$ ．
设可逆线性变换 $x = C y$［其中 $x =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }, y =\left(y_1, y_2, y_3\right)^{ T }, C$ 是三阶可逆矩阵了将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+9 x_2^2+3 x_3^2+8 x_1 x_2-4 x_1 x_3-10 x_2 x_3$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=2 y_1^2+3 y_2^2+6 y_3^2-4 y_1 y_2-4 y_1 y_3+8 y_2 y_3$ ．求 $C$ ．
已知 $R ^3$ 的两组基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\beta _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ， $\beta _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$.
（1）求由基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵；
（2）求 $\gamma =(9,6,5)^{ T }$ 在这两组基下的坐标；
（3）求向量 $\delta$ ，使它在这两组基下有相同的坐标．
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$[X]$ 表示不超过 $X$ 的最大整数．令 $Y= [X]+1$ ，求：
（1）$Y$ 的概率分布；
（2）$P\{Y>6 \mid Y>5\}$ ；
（3）$E(X+Y)$ ．
设随机变量 $X \sim U(-1,2)$ ，
$$
X_1=\left\{\begin{array}{ll}
1, & 0 < X < 2, \\
0, & -1 < X \leqslant 0,
\end{array} \quad X_2= \begin{cases}1, & -1 < X < 1, \\
0, & 1 \leqslant X < 2 .\end{cases}\right.
$$
求：（1）$\left(X_1, X_2\right)$ 的联合概率分布；
（2）$D\left(X_1 X_2\right)$ 和 $D\left(X_1+X_2\right)$ ；
（3）在 $X_1+X_2=1$ 的条件下，$X_1$ 的条件概率分布．
设随机变量 $X$ 服从泊松分布，已知
$$
E[(X-1)(X-3)]=\frac{3}{4},
$$
则 $P\{X=3\}=$ $\qquad$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}C x^2 y, & 0 < y < x < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（1）试确定常数 $C$ ．
（2）试求 $X, Y$ 的边缘概率密度，$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？
（3）试求条件概率密度．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}1, & 0 < x < 1,0 < y < 2 x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：（1）$(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ；
（2）$Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ；
（3）$P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 服从 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立．令 $Z=X-Y$ ，求：
（1）$Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ；
（2）$E(|X-Y|), D(|X-Y|)$ ．