解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 $O A B$ 的边 $O B$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 在第一象限，$O A$ 的长度是一元二次方程 $x^2-5 x-6=0$ 的根，动点 $P$ 从点 $O$ 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 $O A-A B$ 运动，动点 $Q$从点 $O$ 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 $O B-B A$ 运动，$P, ~ Q$ 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 3.6), \triangle O P Q$ 的面积为 $S$ ．
（1）求点 $A$ 的坐标；
（2）求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当 $S=6 \sqrt{3}$ 时，点 $M$ 在 $y$ 轴上，坐标平面内是否存在点 $N$ ，使得以点 $O, ~ P, ~ M, ~ N$为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由．
如图，在 Rt $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 是斜边 $A B$ 上的动点（点 $D$ 与点 $A$ 不重合），连接 $C D$ ，以 $C D$ 为直角边在 $C D$ 的右侧构造 Rt $\triangle C D E, \angle D C E=90^{\circ}$ ，连接 $B E, \frac{C E}{C D}=\frac{C B}{C A}=m$ ．
特例感知
（1）如图 1，当 $m=1$ 时，$B E$ 与 $A D$ 之间的位置关系是 $\qquad$ ，数量关系是 $\qquad$ ；
类比迁移
（2）如图 2，当 $m \neq 1$ 时，猜想 $B E$ 与 $A D$ 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点 $F$ 与点 $C$ 关于 $D E$ 对称，连接 $D F, E F, B F$ ，如图 3．已知 $A C=6$ ，设 $A D=x$ ，四边形 $C D F E$ 的面积为 $y$ ．
① 求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式，并求出 $y$ 的最小值；
② 当 $B F=2$ 时，请直接写出 $A D$ 的长度．
综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $y=\frac{1}{2} x-2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过 $A$ ， $C$ 两点的抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的另一个交点为点 $B(-1,0)$ ，点 $P$ 是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线，分别交直线 $A C$ 于点 $E$ ，点 $F$ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 $D$ 是 $x$ 轴上的任意一点，若 $ A C D$ 是以 $A C$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $D$ 的坐标；
（3）当 $E F=A C$ 时，求点 $P$ 的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点 $N$ 是 $y$ 轴上的一个动点，过点 $N$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $N A, M P$ ，则 $N A+M P$ 的最小值为 $\qquad$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $F: y=-x^2+b x+c$ 经过点 $A(-3,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,2)$ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线 $A B$ 上方抛物线上有一动点 $C$ ，连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，求 $\frac{C D}{O D}$ 的最大值及此时点 $C$ 的坐标；
（3）作抛物线 $F$ 关于直线 $y=-1$ 上一点的对称图象 $F^{\prime}$ ，抛物线 $F$ 与 $F^{\prime}$ 只有一个公共点 $E$（点 $E$ 在 $y$ 轴右侧）， $G$ 为直线 $A B$ 上一点，$H$ 为抛物线 $F^{\prime}$ 对称轴上一点，若以 $B, E, G, H$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $G$ 点坐标．
将一个平行四边形纸片 $O A B C$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$ ，点 $A(3,0)$ ，点 $B, C$ 在第一象限，且
$$
O C=2, \angle A O C=60^{\circ}
$$
（1）填空：如图（1），点 $C$ 的坐标为 $\qquad$ ，点 $B$ 的坐标为 $\qquad$ ；
（2）若 $P$ 为 $x$ 轴的正半轴上一动点，过点 $P$ 作直线 $l \perp x$ 轴，沿直线 $l$ 折叠该纸片，折叠后点 $O$ 的对应点 $O^{\prime}$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$ ．设 $O P=t$ ．
（1）如图（2），若直线 $l$ 与边 $C B$ 相交于点 $Q$ ，当折叠后四边形 $P O^{\prime} C^{\prime} Q$ 与 $Y O A B C$ 重叠部分为五边形时，$O^{\prime} C^{\prime}$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ．试用含有 $t$ 的式子表示线段 $B E$ 的长，并直接写出 $t$ 的取值范围；
（2）设折叠后重叠部分的面积为 S ，当 $\frac{2}{3} \leq t \leq \frac{11}{4}$ 时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．
已知二次函数 $y=-x^2+c$ 的图像经过点 $A(-2,5)$ ，点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 是此二次函数的图像上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图 1，此二次函数的图像与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 的上方，过点 $P$ 作 $P C \perp x$ 轴于点
$C$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $A C, D Q, P Q$ ．若 $x_2=x_1+3$ ，求证 $\frac{S_{\triangle P D O}}{S_{\triangle A D C}}$ 的值为定值；
（3）如图 2，点 $P$ 在第二象限，$x_2=-2 x_1$ ，若点 $M$ 在直线 $P Q$ 上，且横坐标为 $x_1-1$ ，过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，求线段 $M N$ 长度的最大值．
【问题背景】
如图 1，在平面直角坐标系中，点 $B, D$ 是直线 $y=a x(a>0)$ 上第一象限内的两个动点 $(O D>O B)$ ，以线段 $B D$ 为对角线作矩形 $A B C D, A D / / x$ 轴．反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．
【构建联系】
（1）求证：函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象必经过点 $C$ ．
（2）如图 2，把矩形 $A B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 的对应点为 $E$ ．当点 $E$ 落在 $y$ 轴上，且点 $B$ 的坐标为 $(1,2)$ 时，求 $k$ 的值．
【深入探究】
（3）如图 3，把矩形 $A B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 的对应点为 $E$ ．当点 $E$ ，$A$ 重合时，连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $P$ ．以点 $O$ 为圆心，$A C$ 长为半径作 e $O$ ．若 $O P=3 \sqrt{2}$ ，当 $e O$ 与 $V A B C$ 的边有交点时，求 $k$ 的取值范围．
如图 1，抛物线 $y=a x^2+k x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．点 $D$ 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 $A C, D C$ ，直线 $A C$ 交抛物线的对称轴于点 $M$ ，若点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一点，且 $S_{\triangle P M C}=2 S_{\triangle D M C}$ ，求点 $P$ 的坐标；
（3）若点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点，是否存在以点 $N, A, ~ C$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的图像经过原点和点 $A(4,0)$ ．经过点 A 的直线与该二次函数图象交于点 $B(1,3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
（1）求二次函数的解析式及点 $C$ 的坐标；
（2）点 $P$ 是二次函数图象上的一个动点，当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时，过点 $P$ 作 $P E \perp x$ 轴于点 $E$ ，与直线 $A B$ 交于点 $D$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．
① $m$ 为何值时线段 $P D$ 的长度最大，并求出最大值；
② 是否存在点 $P$ ，使得 $\triangle B P D$ 与 $ \triangle A O C$ 相似．若存在，请求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线 $y=-\frac{2}{3} x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A , B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 A 坐标为 $(-1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(3,0)$ ．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点 $P$ 是直线 $B C$ 上方拋物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为点 $E$ ，请探究 $2 P D+P E$ 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 $P$ 点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点 $M$ 为该抛物线上的点，当 $\angle M C B=45^{\circ}$ 时，请直接写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标．
如图，抛物线 $y_1=a x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A , B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C, O C=O A, A B=4$ ，对称轴为直线 $l_1: x=-1$ ，将抛物线 $y_1$ 绕点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$ 后得到新抛物线 $y_2$ ，抛物线 $y_2$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，顶点为 $E$ ，对称轴为直线 $l_2$ ．
（1）分别求拋物线 $y_1$ 和 $y_2$ 的表达式；
（2）如图1，点 $F$ 的坐标为 $(-6,0)$ ，动点 $M$ 在直线 $l_1$ 上，过点 $M$ 作 $M N / / x$ 轴与直线 $l_2$ 交于点 $N$ ，连接 $F M$ ， $D N$ ．求 $F M+M N+D N$ 的最小值；
（3）如图 2 ，点 $H$ 的坐标为 $(0,-2)$ ，动点 $P$ 在抛物线 $y_2$ 上，试探究是否存在点 $P$ ，使 $\angle P E H=2 \angle D H E$ ？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图 1，抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 交 $x$ 轴于 $O, A(4,0)$ 两点，顶点为 $B(2,2 \sqrt{3})$ ．点 $C$ 为 $O B$ 的中点．
（1）求抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 的表达式；
（2）过点 $C$ 作 $C H \perp O A$ ，垂足为 $H$ ，交抛物线于点 $E$ ．求线段 $C E$ 的长．
（3）点 $D$ 为线段 $O A$ 上一动点（ $O$ 点除外），在 $O C$ 右侧作平行四边形 $O C F D$ ．
① 如图 2，当点 $F$ 落在抛物线上时，求点 $F$ 的坐标；
② 如图 3，连接 $B D, B F$ ，求 $B D+B F$ 的最小值．
在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$ ，过点 $B$ 作 $B D / / A C$ ．
（1）如图 1，若点 $D$ 在点 $B$ 的左侧，连接 $C D$ ，过点 A 作 $A E \perp C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．若点 $E$ 是 $B C$ 的中点，求证： $A C=2 B D$ ；
（2）如图 2，若点 $D$ 在点 $B$ 的右侧，连接 $A D$ ，点 $F$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B F$ 并延长交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $C F$ ．过点 $F$ 作 $F M \perp B G$ 交 $A B$ 于点 $M, C N$ 平分 $\angle A C B$ 交 $B G$ 于点 $N$ ，求证：$A M=C N+\frac{\sqrt{2}}{2} B D$ ；
（3）若点 $D$ 在点 $B$ 的右侧，连接 $A D$ ，点 $F$ 是 $A D$ 的中点，且 $A F=A C$ ．点 $P$ 是直线 $A C$ 上一动点，连接 $F P$ ，将 $F P$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $F Q$ ，连接 $B Q$ ，点 $R$ 是直线 $A D$ 上一动点，连接 $B R, Q R$ ．在点 $P$ 的运动过程中，当 $B Q$ 取得最小值时，在平面内将 $V B Q R$ 沿直线 $Q R$ 翻折得到 $\triangle T Q R$ ，连接 $F T$ ．在点 $R$ 的运动过程中，直接写出 $\frac{F T}{C P}$ 的最大值．