如图 1，抛物线 $y=a x^2+k x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．点 $D$ 是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 $A C, D C$ ，直线 $A C$ 交抛物线的对称轴于点 $M$ ，若点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一点，且 $S_{\triangle P M C}=2 S_{\triangle D M C}$ ，求点 $P$ 的坐标；
（3）若点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点，是否存在以点 $N, A, ~ C$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．