在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$ ，过点 $B$ 作 $B D / / A C$ ．


（1）如图 1，若点 $D$ 在点 $B$ 的左侧，连接 $C D$ ，过点 A 作 $A E \perp C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．若点 $E$ 是 $B C$ 的中点，求证： $A C=2 B D$ ；
（2）如图 2，若点 $D$ 在点 $B$ 的右侧，连接 $A D$ ，点 $F$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B F$ 并延长交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $C F$ ．过点 $F$ 作 $F M \perp B G$ 交 $A B$ 于点 $M, C N$ 平分 $\angle A C B$ 交 $B G$ 于点 $N$ ，求证：$A M=C N+\frac{\sqrt{2}}{2} B D$ ；
（3）若点 $D$ 在点 $B$ 的右侧，连接 $A D$ ，点 $F$ 是 $A D$ 的中点，且 $A F=A C$ ．点 $P$ 是直线 $A C$ 上一动点，连接 $F P$ ，将 $F P$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $F Q$ ，连接 $B Q$ ，点 $R$ 是直线 $A D$ 上一动点，连接 $B R, Q R$ ．在点 $P$ 的运动过程中，当 $B Q$ 取得最小值时，在平面内将 $V B Q R$ 沿直线 $Q R$ 翻折得到 $\triangle T Q R$ ，连接 $F T$ ．在点 $R$ 的运动过程中，直接写出 $\frac{F T}{C P}$ 的最大值．