如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 $O A B$ 的边 $O B$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 在第一象限，$O A$ 的长度是一元二次方程 $x^2-5 x-6=0$ 的根，动点 $P$ 从点 $O$ 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 $O A-A B$ 运动，动点 $Q$从点 $O$ 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 $O B-B A$ 运动，$P, ~ Q$ 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 3.6), \triangle O P Q$ 的面积为 $S$ ．
（1）求点 $A$ 的坐标；
（2）求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当 $S=6 \sqrt{3}$ 时，点 $M$ 在 $y$ 轴上，坐标平面内是否存在点 $N$ ，使得以点 $O, ~ P, ~ M, ~ N$为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由．