在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $F: y=-x^2+b x+c$ 经过点 $A(-3,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,2)$ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线 $A B$ 上方抛物线上有一动点 $C$ ，连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，求 $\frac{C D}{O D}$ 的最大值及此时点 $C$ 的坐标；
（3）作抛物线 $F$ 关于直线 $y=-1$ 上一点的对称图象 $F^{\prime}$ ，抛物线 $F$ 与 $F^{\prime}$ 只有一个公共点 $E$（点 $E$ 在 $y$ 轴右侧）， $G$ 为直线 $A B$ 上一点，$H$ 为抛物线 $F^{\prime}$ 对称轴上一点，若以 $B, E, G, H$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $G$ 点坐标．