俞正光编著线性代数同步辅导2003版(矩阵对角化)

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俞正光编著线性代数同步辅导2003版(矩阵对角化)

一、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 问下列矩阵哪个可以对角化：

A = [\begin{array}{ccc} - 3 & 1 & - 1 \\ - 7 & 5 & - 1 \\ - 6 & 6 & - 2 \end{array}] B = [\begin{array}{lll} 1 & - 3 & 3 \\ 3 & - 5 & 3 \\ 6 & - 6 & 4 \end{array}]

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2. 设

X = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T} \neq 0, Y = {(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})}^{T} \neq 0

且

X^{T} Y

= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 0

，又

A = [\begin{array}{cccc} x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & \dots & x_{1} y_{n} \\ x_{2} y_{1} & x_{2} y_{2} & \dots & x_{2} y_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{n} y_{1} & x_{n} y_{2} & \dots & x_{n} y_{n} \end{array}]

．求

A

的全部特征值并证明

A

不能相似于对角阵．

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3. 已知

n

阶矩阵

\begin{aligned} A = [\begin{array}{cccc} a & a & \dots & a \\ a & a & \dots & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a & a & \dots & a \end{array}] (a \neq 0) \\ 问 A 是否可对角化？若能，求出相似变换矩阵 P ，使 P^{- 1} A P 成为对角阵． \end{aligned}

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4. 设 3 阶矩阵

A

有特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3

．其对应的特征向量分别是

X_{1} = (1, 1, 1)^{T}, X_{2} = (1, 2, 4)^{T}, X_{3} = (1, 3, 9)^{T}

。另向量

β = (1, 1

，

3)^{T}

，求

A^{n} β =

？

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5. 求矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

的 5 次幂．

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6. 设

A

是

n

阶幕等矩阵（即

A^{2} = A

）．

r (A) = r < n

试证：

A \sim [\begin{array}{ll} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]

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7. 已知 3 阶矩阵

A

的三个特征值为

- 2, - 2, 4

．

A

的属于它们的特征向量分别为

X_{1} = (1, 1, 0)^{T}, X_{2} = (1, 0, - 1)^{T}, X_{3} = (1, 1, 2)^{T}

。求矩阵

A

．

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8. 求正交矩阵

T

，使

T^{- 1} A T

成为对角矩阵：（1）

A =

[\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 2 \\ - 2 & - 2 & 4 \\ 2 & 4 & - 2 \end{array}], (2) A = [\begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \end{array}] .

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9. 3 阶实对称矩阵

A

的特征值分别为

1, 2, 3

．

A

的属于 1,2 的特征向量分别为

α_{1} = (- 1, - 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, - 2, - 1)^{T}

。
（1）求

A

的属于特征值为 3 的特征向量．
（2）求矩阵

A

．

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10. 已知矩阵

A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array}], B = [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]

，且

A

与

B

相似．
（1）求

a, b

的值．
（2）求一个正交矩阵

T

，使

T^{- 1} A T = B

．

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11. 已知 5 阶矩阵

A = [\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{lllll} 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}],

试问

A

与

B

是否相似？

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12. 设

A, B

都是

n

阶实对称矩阵，且有正交矩阵

T

，使

T^{- 1} A T

及

T^{- 1} B T

都是对角阵。试证：

A B

也是实对称阵。

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13. 设

A

是实对称阵，且

A

的所有特征值

λ_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)

．证明存在实对称矩阵

B

，有

B^{2} = A

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