2022年概率论与数理统计模拟试卷

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2022年概率论与数理统计模拟试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A, B

是两个互不相容的事件，

P (A) > 0 ， P (B) > 0

，则（）一定成立。

A.

P (A) = 1 - P

B.

P (A ∣ B) = 0

C.

(A ∣ \bar{B}) = 1

D.

P (\bar{A} \bar{B}) = 0

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2. 设

A, B

是两个事件,

P (A) > 0 ， P (B) > 0

，当下面条件（（）成立时,

A

与

B

一定相互独立。

A.

P (\bar{A} \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B})

B.

P (\overset{―}{A B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B})

C.

(A ∣ B) = P (B)

D.

P (A ∣ B) = P (\bar{A})

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3. 若

A 、 B

相互独立, 则下列式子成立的为

A.

P (\bar{A} B) = P (\bar{A}) P (B)

B.

P (A B) = 0

C.

P (A ∣ B) = P (B ∣ A)

D.

P (A ∣ B) = P (B)

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4. 下面的函数中可以是离散型随机变量的概率函数

A.

P {ξ_{1} = k} = \frac{e^{- 1}}{k!} (k = 0, 1, 2 ∥ 1)

B.

P {ξ_{2} = k} = \frac{e^{- 1}}{k!} (k = 1, 2 ∥ ∥)

C.

P {ξ_{3} = k} = \frac{1}{2^{k}} (k = 0, 1, 2 ∥)

D.

P {ξ_{4} = k} = \frac{1}{2^{k}} (k = - 1, - 2, - 3 ∥ ∥)

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5. 设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

分别为随机变量

X_{1}

与

X_{2}

的分布函数, 为了使

F (x) = a F_{1} (x) - b F_{2} (x)

是某一随机变量的分布函数, 则下列个组中应取

A.

a = - \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}

B.

a = \frac{2}{3}, b = \frac{2}{3}

C.

a = \frac{3}{5}, b = - \frac{2}{5}

D.

a = \frac{1}{2}, b = - \frac{3}{2}

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6. 事件 “掷一枚硬币，或者出现正面, 或者出现反面”是必然事件。

A.

正确

B.

错误

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7. 通过选取经验函数

μ (x; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})

中的参数使得观察值

y_{i}

与相应的函数值

μ (x_{i}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})

之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。

A.

正确

B.

错误

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8. 在进行一元线性回归时, 通过最小二乘法求得的经验回归系数

\hat{b}

为

\frac{l_{x y}}{l_{x x}}

A.

正确

B.

错误

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9. 连续抛一枚均匀硬币 6 次, 则正面至少出现一次的概率为

\frac{2}{9}

A.

正确

B.

错误

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10. 设某次考试考生的成绩服从正态分布

N (70, σ^{2}), σ^{2}

末知, 为了检验样本均值是否显著改变, 抽取 36 名同学测得平均成绩为

66.5

分, 标准差为 15 分, 显著水平

α = 0.05

, 则应该接受原假设。

A.

正确

B.

错误

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 10 个球中只有一个红球, 有放回地抽取, 每次取一球, 直到第

n

次才取得

k

次

(k ⩽ n)

红球的概率为

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12. 设

(ξ, η)

的联合分布律如表所示, 则

(a, b) = ()

时,

ξ

与

η

相互独立。

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13. 设

x_{1}, \dots, x_{6}

为正态总体

N (0, 2^{2})

的一个样本, 则概率

P {\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} > 6.54}

为

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14. 样本容量为

n

时, 样本方差

s^{2}

是总体方差

σ^{2}

的无偏估计量, 这是因为

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15. 估计量的有效性是指

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16. 某人射击中靶的概率为

0.75

. 若射击直到中靶为止, 求射击次数为 3 的概率。

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17. 设随机变量

ξ

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} k x^{b} & 0 < x < 1, (b > 0, k > 0) \\ 0 & 其他 \end{array}

且

P (ξ > \frac{1}{2}) = 0.75

, 则

K

和

b

分别为多少?

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18. 假设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

是取自正态总体

N (0, 2^{2})

的一个样本, 令

K = {(a X_{1} - 2 X_{2})}^{2} + b {(3 X_{3} - 4 X_{4})}^{2}

, 则当

a = 1 / 20, b = 1 / 100

时, 统计量服从

χ^{2}

分布, 其自由度是多少?

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19. 某大学从来自

A, B

两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位:

cm

）后算得

\overset{―}{x} = 175.9, \overset{―}{y} = 172.0; s_{2}^{1} = 11.3, s_{2}^{2} = 9.1

。假设两市新生身高分别服从正态分布

X \sim N (μ_{1}, σ^{2}), Y \sim N (μ_{2}, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

末知。试求

μ_{1} - μ_{2}

的置信度为

0.95

的置信区间。

(t_{0.025} (9) = 2.2622, t_{0.025} (11) = 2.2010)

。

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