单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y}$, 则 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{x}{x y^3+1}$
$\text{B.}$ $\frac{y}{x y^3+1}$
$\text{C.}$ $\frac{x y}{x^2 y^2+1}$
$\text{D.}$ $\frac{x y}{x y^3+1}$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$, 则根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0), \\ 0, \quad(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 两个偏导数都存在，函数也连续。
$\text{B.}$ 两个偏导数都存在, 但函数不连续.
$\text{C.}$ 偏导数不存在，但函数连续。
$\text{D.}$ 偏导数不存在, 函数也不连续.
设函数 $z=f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$, 则 $z=f(x, y)$ 在点 $P(0,0)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 不能确定连续性
$\text{D.}$ 不存在
曲面 $x y z=a^3(a>0)$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V =$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} a^3$;
$\text{B.}$ $3 a^3$;
$\text{C.}$ $\frac{9}{2} a^3$;
$\text{D.}$ $6 a^3$.
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，则下列说法中，正确的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在．
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续，$f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=2$ ，则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ -1 ．
$\text{D.}$ -3 ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 为 $z=f(x, y)$ 的间断点，则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处无定义
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的极限不存在
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可能有定义，也可能极限存在
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，有极限，但极限不等于 $f\left(x_0, y_0\right)$
设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数均存在是 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可微的
$\text{A.}$ 必要而非充分条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)]}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)]}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x(x, 0)-f_x(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y(0, y)-f_y(0,0)\right]=0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二元函数 $z=\arctan (x-y)+\sqrt{x^2 y}$ 的定义域是
计算 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x y) \cdot\left(x^2+e^y+1\right)}{1-\sqrt{1+x y}}$.
设 $z^2-2 x y z=1$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
求椭球面 $4 x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面。
设曲面方程为 $z=w(x) e ^{\sin (x y)}$ ，其中 $w=w(x)(w>0)$ 由方程 $x^2+w^2+ e ^{x w}=5$ 确定，则曲面在点 $(0,1, z(0,1))$ 处的切平面方程为
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二元函数 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 满足条件: $g(0,0)=0$ ，
$$
f(x, y)=y+2 \int_0^x f(x-t, y) d t, \frac{\partial g(x, y)}{\partial x}=1, \frac{\partial g(x, y)}{\partial y}=-1
$$
(1) 求二元函数 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 的表达式.
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\frac{f\left(\frac{1}{n}, n\right)}{g(n, 1)}\right]^n$.
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin x^2 y}{(\cos x-1) \arcsin y}$ 。
求圆柱螺旋线 $x=R \cos t, y=R \sin t, z=k t$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 对应点处的切线方程和法平面方程.
求曲线 $x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0$ 在点 $P(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程.
求球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程。
求旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2+z^2=45, \\ x^2+2 y^2=z\end{array}\right.$ 在点 $(-2,1,6)$ 处的切线和法平面方程.
确定正数 $\sigma$ 使曲面 $x y z=\sigma$ 与球面 $x^2+y^2+z^2$ $=a^2$ 在点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处相切.
设曲面的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin \varphi \cos \theta \\
y=4 \sin \varphi \sin \theta,(0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) \\
z=4 \cos \varphi
\end{array}\right.
$$
求该曲面在 $\varphi=\frac{\pi}{4}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 点处的切平面与法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 的切线与法平面.
证明曲面 $F(x-m y, z-n y)=0$ 的所有切平面恒与定直线平行, 其中 $F(u, v)$ 可微.
求平面 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{5}=1$ 和柱面 $x^2+y^2=1$ 的交线上与 xoy 平面距离最短的点.
在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.
设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：
$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$
且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：
$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b]
$$
判断函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}},(x, y) \neq(0,0) \\ a,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 的连续性．
已知三角形周长为 $2 p$ ，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大的三角形。
设在平面坐标系中有三点：$P_1(0,0), P_2(1,0), P_3(0,1)$ ，在由三角形 $P_1 P_2 P_3$ 区域上各求一点 $P$ ，使到三个点距离的平方和为最大和最小．
求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$下的最大值和最小值。
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在 $x^2+y^2 \leqslant 25$ 上的最大值与最小值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．
求两球 $x^2+y^2+z^2=16$ 与 $x^2+y^2+z^2+2 x+2 y+2 z=24$ 交线的最高点与最低点．
设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 $x, y$（千只），其利润函数为
$$
L(x, y)=-x^2-4 y^2+8 x+24 y-15 .
$$
如果现有原料 15000 千克（不要求用完），生产两种产品每千只都需要原料 2000 千克，求
（1）使利润最大的 $x, y$ 和最大利润；
（2）如果原料降至 12000 千克，求这时利润最大的产量和最大利润．