一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的 ( ).
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 分条件但非必要条件
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内有定义, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件定
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 几个数的大小顺序为 )
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续, 则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$.
设 $f(x)$ 为不恒等于零的奇函数, 且 $f^{\prime}(0)$ 存在, 则函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$
$\text{A.}$ 在 $x=0$ 处左极限不存在.
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $x=0$.
$\text{C.}$ 在 $x=0$ 处右极限不存在.
$\text{D.}$ 有可去间断点 $x=0$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在, 但不连续.
$\text{C.}$ 连续, 但不可导.
$\text{D.}$ 可导。
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^\alpha \cos \frac{1}{x^\beta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}(\alpha>0, \beta>0)\right.$. 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续,则
$\text{A.}$ $\alpha-\beta>1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha-\beta \leqslant 1$.
$\text{C.}$ $\alpha-\beta>2$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha-\beta \leqslant 2$.
设 $f(x)=3 x^3+x^2|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3.
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$, 则 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $d y$ 是
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值.
$\text{C.}$ $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值.
$\text{D.}$ $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值.
设两函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值, 则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$ 处
$\text{A.}$ 必取极大值.
$\text{B.}$ 必取极小值.
$\text{C.}$ 不可能取极值.
$\text{D.}$ 是否取极值不能确定.
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
求曲线 $y-x+e^y=0$ 在点 $x=1$ 处的切线方程
已知 $f(x)$ 可导， $y=f\left(e^{x^2}\right)$ ，求 $d y$
设 $y$ 是由方程 $y^3(x+y)=x^3$ 所确定的隐函数，计算 $\int \frac{1}{y^2} d x$
若 $\left\{\begin{array}{c}x=e^t \\ y=\csc t\end{array}\right.$, 则 $\frac{ d y}{d x}$.
设 $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ ，则 $f^{(3 n+1)}(0)=$ $\qquad$ ，其中 $n=0,1,2, \cdots$.
设 $x=t^3+2 t+1, \int_0^{y+t} e ^{-u^2} d u=t$, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
讨论$y=|\sin x|$函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性:
讨论函数 $y= \begin{cases}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$ 在$x=0$的连续性与可导性。
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x>1\end{cases}
$$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导, $a, b$ 应取什么值?
求二阶导数 $ y=\mathrm{e}^{-t} \sin t $
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
求隐函数导数 $x y=\mathrm{e}^{x+y}$;
设曲线 $C$ 的方程为 $x^2 y-x y^2=2$, 试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^t \\ y=\mathrm{e}^{-t}\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 相应的点处的切线方程及法线方程.
不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数, 说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间。
设 $a>b>0$, 证明:
$$
\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b} .
$$
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在, 但不能用洛必达法则得出.
计算 $ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x} $
设 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$, 证明多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点.
$p^2>4 q, q \neq 0, y=\frac{1}{x^2+p x+q}$ ，求 $y^{(n)}$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $(0,1)$ 内可导, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1, f(0)=f(1)$
证明: $\forall x_1, x_2 \in[0,1],\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq \frac{1}{2}$
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$, 求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0$
证明: $\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}$