单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m$, $\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$.
$\text{B.}$ $-(m+n)$.
$\text{C.}$ $n-m$.
$\text{D.}$ $m-n$.
$n$阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a
\end{array}\right|_{n \times n}
$$
得值为
$\text{A.}$ $a^n+(-1)^{n+1} b^n$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $a^n-b^n$
$\text{D.}$ $a^n+b^n$
行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|
$$
得值
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $x^4$
$\text{D.}$ $x^4-1$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}
\lambda & -1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & -1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & -1 \\
4 & 3 & 2 & \lambda+1
\end{array}\right|$
$\text{A.}$ $\lambda^4+\lambda^3+2 \lambda^2+3 \lambda+4 .$
$\text{B.}$ $\lambda^4-\lambda^3+2 \lambda^2-3 \lambda+4 .$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
计算$D=\left|\begin{array}{ccccc}
1-a & a & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1-a & a & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1-a & a & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1-a & a \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1-a
\end{array}\right|$
$\text{A.}$ $1+a+a^2+a^3+a^4+a^5$.
$\text{B.}$ $(1-a)^5$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $D_5=1-a+a^2-a^3+a^4-a^5$.
行列式$\left|\begin{array}{cccc}
a & 0 & -1 & 1 \\
0 & a & 1 & -1 \\
-1 & 1 & a & 0 \\
1 & -1 & 0 & a
\end{array}\right|=$ 得值为
$\text{A.}$ $a^4$
$\text{B.}$ $a^2\left(a^2-4\right) .$
$\text{C.}$ $a^2\left(a^2+4\right) .$
$\text{D.}$ $a^4-1$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式, 则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=2$, 则 $\left|\begin{array}{lll}2 a_1+b_1 & 3 b_1 & c_1 \\ 2 a_2+b_2 & 3 b_2 & c_2 \\ 2 a_3+b_3 & 3 b_3 & c_3\end{array}\right|=$
已知四阶行列式 $D$ 的第三行元素分别为: $-1,0,2,4$; 第四行元素对应的代数余子式依次是 $2,10, x, 4$, 则 $x=$
设 $A =\left( a _{i j}\right)$ 为 3 阶矩阵, $A _{i j}$ 为元素 $a _{i j}$ 的代数余子式, 若 $A$ 的每行元素之和均为 2 , 且 $| A |= 3$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=$
计算行列式 $\left|\begin{array}{rrr}1 & x+1 & x^2+1 \\ 1 & 2 x+2 & 2 x^2+4 \\ 1 & 3 x+3 & 3 x^2+9\end{array}\right|$ 。
解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1\end{array}\right|$ 的值
设 $a b c \neq 0$, 求下列行列式的值:
$$
|A|=\left|\begin{array}{lll}
a+b & a^{-1}+b^{-1} & (a+b)^2+\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2 \\
b+c & b^{-1}+c^{-1} & (b+c)^2+\left(b^{-1}+c^{-1}\right)^2 \\
c+a & c^{-1}+a^{-1} & (c+a)^2+\left(c^{-1}+a^{-1}\right)^2
\end{array}\right| .
$$
计算 $$\left|\begin{array}{rrr}
-a b & a c & a e \\
b d & -c d & d e \\
b f & c f & -e f
\end{array}\right|$$
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
解方程
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 2 & -1 \\ 2 & x+1 & 1 \\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right|=0$
解方程
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x & a & b & c \\
x^2 & a^2 & b^2 & c^2 \\
x^3 & a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|=0$
其中 $a,b,c$ 互不相等。
证明：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
a^2 & a b & b^2 \\
2 a & a+b & 2 b \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=(a-b)^3 \text {; }
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{lll}
a x+b y & a y+b z & a z+b x \\
a y+b z & a z+b x & a x+b y \\
a z+b x & a x+b y & a y+b z
\end{array}\right|=\left(a^3+b^3\right)\left|\begin{array}{lll}
x & y & z \\
y & z & x \\
z & x & y
\end{array}\right|
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|=0 ;
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
\end{array}\right| \\
= & (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
\end{aligned}
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x & -1 & 0 & 0 \\
0 & x & -1 & 0 \\
0 & 0 & x & -1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & a_3
\end{array}\right|=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0
$$
$D_n=\left|\begin{array}{lll}a & & 1 \\ & \ddots & \\ 1 & & a\end{array}\right|$,其中对角线上元素都是 $a$,未写出的元素都是 0 ;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x\end{array}\right|$;
计算 $$D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccc}
a^n & (a-1)^n & \cdots & (a-n)^n \\
a^{n-1} & (a-1)^{n-1} & \cdots & (a-n)^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a-1 & \cdots & a-n \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right|
$$
计算 $$D_{2 n}=\left|\begin{array}{lllllll}
a_n & & & & & b_n \\
& \ddots & & & . & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& . & & & \ddots & \\
c_n & & & & & d_n
\end{array}\right|
$$ 未写的元素都是0
计算 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & 1+a_2 & & a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$
计算 $D_n=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=|i-j|$;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$, 其中 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$.
已知 $D=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2\end{array}\right|$,
（1） $A_{12}+2 A_{22}+3 A_{32}$ ；(2) 求第 2 行各元素代数余子式之和.
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 9 & 16 \\
1 & 8 & 27 & 64
\end{array}\right| .$
计算 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\
1 & 2^3 & 3^3 & 4^3 \\
9 & 8 & 7 & 6
\end{array}\right| .$
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|$
计算$D_5=\left|\begin{array}{ccccc}
4 & 3 & & & \\
1 & 4 & 3 & & \\
& 1 & 4 & 3 & \\
& & 1 & 4 & 3 \\
& & & 1 & 4
\end{array}\right| .$
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]$ 是 3 阶矩阵, 且 $| A |=4$, 若
$$
B =\left[ \alpha _1-3 \alpha _2+2 \alpha _3, \alpha _2-2 \alpha _3, 2 \alpha _2+ \alpha _3\right],
$$
则 $| B |=$
计算$\left|\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|$