单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, 则齐次线性方程组 $A x = 0$ 仅有零解的充分条件是
$\text{A.}$ $A$ 的列向量线性无关.
$\text{B.}$ $A$ 的列向量线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量线性无关.
$\text{D.}$ $A$ 的行向量线性相关.
设 $A$ 是四阶矩阵, $A$ * 是 $A$ 的伴随矩阵, 若线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系中只有 2个向量, 则 $A ^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
非齐次线性方程组 $A x = b$ 中未知量个数为 $n$, 方程个数为 $m$, 系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 则
$\text{A.}$ $r=m$ 时, 方程组 $A x = b$ 有解.
$\text{B.}$ $r=n$ 时,方程组 $A x = b$ 有唯一解.
$\text{C.}$ $m=n$ 时,方程组 $A x = b$ 有惟一解.
$\text{D.}$ $r < n$ 时, 方程组 $A x = b$ 有无穷多解.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right), b =\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$, 若集合 $\Omega=\{1,2\}$, 则线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$.
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$.
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$.
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $A x = x$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 所对应的齐次线性方程组, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 仅有零解, 则 $A x = b$ 有唯一解.
$\text{B.}$ 若 $A x = 0$ 有非零解, 则 $A x = b$ 有无穷多个解.
$\text{C.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多个解, 则 $A x = 0$ 仅有零解.
$\text{D.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多个解, 则 $A x = 0$ 有非零解.
设有齐次线性方程组 $A x = 0$ 和 $B x = 0$, 其中 $A , B$ 均为 $m \times n$ 矩阵, 现有 4 个命题：
(1) 若 $A x = 0$ 的解均是 $B x = 0$ 的解, 则 $r ( A ) \geqslant r ( B )$;
(2) 若 $r ( A ) \geqslant r ( B )$, 则 $A x = 0$ 的解均是 $B x = 0$ 的解;
(3) 若 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解, 则 $r ( A )= r ( B )$;
(4) 若秩 $r ( A )= r ( B )$, 则 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解。
以上命题中正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1) (3).
$\text{C.}$ (2)(4).
$\text{D.}$ (3) (4).
已知 $\beta _1, \beta _2$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的两个不同的解, $\alpha _1, \alpha _2$ 是对应齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系， $k_1, k_2$ 为任意常数，则方程组 $A x = b$ 的通解（一般解）是
$\text{A.}$ $k_1 \alpha _1+k_2\left( \alpha _1+ \alpha _2\right)+\frac{ \beta _1- \beta _2}{2}$.
$\text{B.}$ $k_1 \alpha _1+k_2\left( \alpha _1- \alpha _2\right)+\frac{ \beta _1+ \beta _2}{2}$.
$\text{C.}$ $k_1 \alpha _1+k_2\left( \beta _1+ \beta _2\right)+\frac{ \beta _1- \beta _2}{2}$.
$\text{D.}$ $k_1 \alpha _1+k_2\left( \beta _1- \beta _2\right)+\frac{ \beta _1+ \beta _2}{2}$.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是四元非齐次线性方程组 $A X = b$ 的三个解向量, 且 $r ( A )=3, \alpha _1=$ $(1,2,3,4)^{ T }, \alpha _2+ \alpha _3=(0,1,2,3)^{ T }, c$ 表任意常数, 则线性方程组 $A X = b$ 的通解 $X =$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$.
设有三张不同平面的方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3$, 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 , 则这三张平面可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
如图所示, 有 3 张平面两两相交, 交线相互平行, 它们的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=d_i(i=1,2,3)
$$
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A , \overline{ A }$, 则
$\text{A.}$ $r ( A )=2, r (\overline{ A })=3$.
$\text{B.}$ $r ( A )=2, r ( A )=2$.
$\text{C.}$ $r ( A )=1, r (\overline{ A })=2$.
$\text{D.}$ $r ( A )=1, r (\overline{ A })=1$.
4 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A ^* \neq 0$, 若 $\xi _1, \xi _2, \xi _3, \xi _4$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的互不相等的解, 则齐次线性方程组 $A ^* x = 0$ 的基础解系
$\text{A.}$ 不存在.
$\text{B.}$ 仅含一个非零解向量.
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量.
$\text{D.}$ 含有三个线性无关的解向量.
设矩阵 $A=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$, 其中 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, $\alpha _1+ \alpha _2+ \alpha _3+ \alpha _4= 0$, 向量 $b=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4, c_1, c_2$ 表示任意常数, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$.
若非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x_1+x_2+x_3=1, \\
x_1+k x_2=3, \\
3 x_1+x_2+x_3=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则
$\text{A.}$ $k=0$ 或 $k=3$
$\text{B.}$ $k \neq 0$
$\text{C.}$ $k \neq 3$
$\text{D.}$ $k \neq 0$ 且 $k \neq 3$
设 $\xi _1=[1,-2,3,2]^{ T }, \xi _2=[2,0,5,-2]^{ T }$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系,则下列向量中是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解向量的是 ( ).
$\text{A.}$ $\alpha _1=[1,-3,3,3]^{ T }$
$\text{B.}$ $\alpha _2=[0,0,5,-2]^{ T }$
$\text{C.}$ $\alpha _3=[-1,-6,-1,10]^{ T }$
$\text{D.}$ $\alpha _4=[1,6,1,0]^{ T }$
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_2+x_3-x_4=10 \\ x_1+3 x_3+x_4=13 \\ x_1+4 x_2+x_3=23\end{array}\right.$, 线性无关的解向量组中的向量个数最多为 $s$, 其对应的齐次线性方程组基础解系中的向量个数为 $t$, 则
$\text{A.}$ $s=1, t=1$.
$\text{B.}$ $s=2, t=1$.
$\text{C.}$ $s=2, t=3$.
$\text{D.}$ $s=3, t=2$.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 4 元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3 , 又 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是它的 3 个解向量, 其中 $\alpha_1+\alpha_2=(1,1,0,2)^T, \quad \alpha_2+\alpha_3=(1,0,1,3)^T$, 则该非齐次线性方程组的通解为
线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2-x_3=1, \\
2 x_1+3 x_2+x_3=2, \\
4 x_1+9 x_2-x_3=4
\end{array}\right.
$$
的解是 .
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $\lambda$ 取何值时, 非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda, \\ x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2 .\end{array}\right.$
（1）无解；（2）有唯一解;（3）有无穷解.
已知线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=0, \\ 2 x_1+x_2-6 x_3+4 x_4=-1, \\ 3 x_1+2 x_2+p x_3+7 x_4=-1, \\ x_1-x_2-6 x_3-x_4=t .\end{array}\right.$ 讨论参数 $p, t$ 取何值时, 此方程组无解，有解；当有解时，求该线性方程组的通解？
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=1, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=1, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=1 .\end{array}\right.$ 其中 $a_i \neq a_j(i \neq j, i, j=1,2,3)$, 则方程组的解是
已知线性方程组 (I) 的基础解系为: $\xi_{\text {， }}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \xi _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，线性方程组（II）的基础解系为: $\eta _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \eta _2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 求两方程组的公共解.
证明
(1) $r(A B) \leq \min \{r(A), r(B)\}$
(2) 若 $A_{m \times n} B_{n \times s}=0$, 则 $r(A)+r(B) \leq n$
问 $t$ 取何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}t x_1-x_2+x_3=2, \\ 2 x_1+t x_2-x_3=1, \\ -2 x_1+x_2-x_3=1\end{array}\right.$ 无解, 有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求出方程组的通解。
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 求满足 $A \xi_2=2 \xi_1, A ^2 \xi_3=6 \xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$.
设 $A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$, 已知 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是线性方程组 $A X=b$ 的一个解, 求线性方程组 $A X=b$ 的通解.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, 已知线性方程组 $A x=b$ 存在 2 个不同的解,
(1) 求 $\lambda, a$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
讨论 $n$ 阶 $(n \geqslant 2)$ 方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & a\end{array}\right)$ 的秩的情况.
求解四元方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
2 x+y-z+w & =1 \\
3 x-2 y+z-3 w & =4 \\
x+4 y-3 z+5 w & =-2
\end{aligned}\right.
$$
的基础解系
设有线性方程组
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & \lambda-1 & -2 \\
0 & \lambda-2 & \lambda+1 \\
0 & 0 & 2 \lambda+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
5
\end{array}\right),
$$
问 $\lambda$ 为何值时（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解? 并在有无限多解时求其通解.
非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
-2 x_1+x_2+x_3 & =-2, \\
x_1-2 x_2+x_3 & =\lambda, \\
x_1+x_2-2 x_3 & =\lambda^2
\end{aligned}\right.
$$
当 $\lambda$ 取何值时有解? 并求出它的通解。
设 $A$ 为列满秩矩阵, $A B=C$, 证明方程 $B x=0$ 与 $C x=0$ 同解.
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，证明方程 $A X = E _{ m }$ 有解的充要条件是 $R( A )= m$ 。
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right], b =\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$. 求方程组 $A x = b$ 的全部解.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+a x_3=0, \\
x_1+2 x_2+x_3=0, \\
x_1-x_2+a x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程 $x_1-2 x_2+3 x_3=1$ 有公共解, 则 $a=$
设线性方程组
（I) $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+\lambda x_3=1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda^2,\end{array}\right.$ （II） $x_1-x_2+2 x_3=-4$.
问 $\lambda$ 取何值时, 两方程组有公共解? 在有无穷多公共解的情况下, 给出公共解.
已知方程组 (I) $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2-3 x_4=1, \\ -7 x_2+3 x_3+x_4=-3\end{array}\right.$ 及方程组 (II) 的通解为 $k_1[-1,1,1,0]^{ T }+k_2[2,-1,0,1]^{ T }+[-2,-3,0,0]^{ T }$,其中 $k_1, k_2$ 为任意常数. 求方程组 (I), (II) 的公共解.