一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4\end{array}\right|$ 的值等于
$\text{A.}$ $a_1 a_2 a_3 a_4-b_1 b_2 b_3 b_4$.
$\text{B.}$ $a_1 a_2 a_3 a_4+b_1 b_2 b_3 b_4$.
$\text{C.}$ $\left(a_1 a_2-b_1 b_3\right)\left(a_3 a_4-b_3 b_4\right)$.
$\text{D.}$ $\left(a_2 a_3-b_2 b_3\right)\left(a_1 a_4-b_1 b_4\right)$.
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$.
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$.
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$.
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$.
若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m$, $\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$.
$\text{B.}$ $-(m+n)$.
$\text{C.}$ $n-m$.
$\text{D.}$ $m-n$.
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$, 则方程 $f(x)=0$ 的的个数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$, 则第四行各元素余子式之和的值为
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ -14
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ -28
$n$阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a
\end{array}\right|_{n \times n}
$$
得值为
$\text{A.}$ $a^n+(-1)^{n+1} b^n$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $a^n-b^n$
$\text{D.}$ $a^n+b^n$
行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|
$$
得值
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $x^4$
$\text{D.}$ $x^4-1$
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
在五阶行列式中项 $a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}$ 的符号为
设行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=2$, 则 $\left|\begin{array}{lll}2 a_1+b_1 & 3 b_1 & c_1 \\ 2 a_2+b_2 & 3 b_2 & c_2 \\ 2 a_3+b_3 & 3 b_3 & c_3\end{array}\right|=$
三、解答题 （ 共 22 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1\end{array}\right|$ 的值
设 $a b c \neq 0$, 求下列行列式的值:
$$
|A|=\left|\begin{array}{lll}
a+b & a^{-1}+b^{-1} & (a+b)^2+\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2 \\
b+c & b^{-1}+c^{-1} & (b+c)^2+\left(b^{-1}+c^{-1}\right)^2 \\
c+a & c^{-1}+a^{-1} & (c+a)^2+\left(c^{-1}+a^{-1}\right)^2
\end{array}\right| .
$$
设 $n$ 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的第 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}=\mathrm{C}_{n i}^j(1 \leq i, j \leq n)$, 试求 $|\boldsymbol{A}|$的值.
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 7\end{array}\right|$;
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2\end{array}\right|$;
计算 $$\left|\begin{array}{rrr}
-a b & a c & a e \\
b d & -c d & d e \\
b f & c f & -e f
\end{array}\right|$$
计算
$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
b+c & c+a & a+b
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{rrrr}
a & 1 & 0 & 0 \\
-1 & b & 1 & 0 \\
0 & -1 & c & 1 \\
0 & 0 & -1 & d
\end{array}\right|
$$
计算
$$
\left|\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 1 \\
1 & 4 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right| .
$$
解方程
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x & a & b & c \\
x^2 & a^2 & b^2 & c^2 \\
x^3 & a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|=0$
其中 $a,b,c$ 互不相等。
证明：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
a^2 & a b & b^2 \\
2 a & a+b & 2 b \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=(a-b)^3 \text {; }
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{lll}
a x+b y & a y+b z & a z+b x \\
a y+b z & a z+b x & a x+b y \\
a z+b x & a x+b y & a y+b z
\end{array}\right|=\left(a^3+b^3\right)\left|\begin{array}{lll}
x & y & z \\
y & z & x \\
z & x & y
\end{array}\right|
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|=0 ;
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
\end{array}\right| \\
= & (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
\end{aligned}
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x & -1 & 0 & 0 \\
0 & x & -1 & 0 \\
0 & 0 & x & -1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & a_3
\end{array}\right|=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0
$$
$D_n=\left|\begin{array}{lll}a & & 1 \\ & \ddots & \\ 1 & & a\end{array}\right|$,其中对角线上元素都是 $a$,未写出的元素都是 0 ;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x\end{array}\right|$;
计算 $$D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccc}
a^n & (a-1)^n & \cdots & (a-n)^n \\
a^{n-1} & (a-1)^{n-1} & \cdots & (a-n)^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a-1 & \cdots & a-n \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right|
$$
计算 $$D_{2 n}=\left|\begin{array}{lllllll}
a_n & & & & & b_n \\
& \ddots & & & . & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& . & & & \ddots & \\
c_n & & & & & d_n
\end{array}\right|
$$ 未写的元素都是0
计算 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & 1+a_2 & & a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$
计算 $D_n=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=|i-j|$;
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$, 其中 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$.