一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵, 且 $A B = O$, 则必有
$\text{A.}$ $A = O$ 或 $B = O$.
$\text{B.}$ $A B = B A$.
$\text{C.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$.
$\text{D.}$ $| A |+| B |=0$.
设 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足关系式 $A B C = E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有
$\text{A.}$ $A C B = E$.
$\text{B.}$ $C B A = E$.
$\text{C.}$ $B A C = E$.
$\text{D.}$ $B C A = E$.
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left| A ^*\right|=$
$\text{A.}$ $| A |^{n-1}$.
$\text{B.}$ $| A |$.
$\text{C.}$ $| A |^n$.
$\text{D.}$ $| A |^{-1}$.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2), A ^*$ 足矩阵 $A$ 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^{*}=| A |^{n-1} A$.
$\text{B.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+1} A$.
$\text{C.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n-2} A$.
$\text{D.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+2} A$.
设 $A$ 是 3 阶方阵, 将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$, 再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$, 则满足 $A Q = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
16. 设
$$
A =\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}
a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\
a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\
a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\
a_{44} & a_{43} & a_{42} & a_{41}
\end{array}\right), P _1=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
$P _2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 其中 $A$ 可逆, 则 $B ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A ^{-1} P _1 P _2$.
$\text{B.}$ $P _1 A ^{-1} P _2$.
$\text{C.}$ $P _1 P _2 A ^{-1}$.
$\text{D.}$ $P _2 A ^{-1} P _1$.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 矩阵 $B = A C$ 的秩为 $r_1$,则
$\text{A.}$ $r>r_1$.
$\text{B.}$ $r < r_1$.
$\text{C.}$ $r=r_1$.
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $C$ 而定.
设 $A , B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵, 且 $A B = O$, 则 $A$ 和 $B$ 的秩
$\text{A.}$ 必有一个等于零.
$\text{B.}$ 都小丁 $n$.
$\text{C.}$ 一个小于 $n$, 一个等于 $n$.
$\text{D.}$ 都等于 $n$.
设 $n(n \geqslant 3)$ 阶矩阵
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$
若矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$.
$\text{C.}$ -1 .
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$.
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵, 记 $r ( X )$ 为矩阵 $X$ 的秩, $( X \quad Y )$ 表示分块矩阵, 则
$\text{A.}$ $r ( A \quad A B )= r ( A )$.
$\text{B.}$ $r ( A \quad B A )= r ( A )$.
$\text{C.}$ $r ( A \quad B )=\max \{ r ( A ), r ( B )\}$.
$\text{D.}$ $r \left(\begin{array}{ll} A & B \end{array}\right)= r \left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$.
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
设矩阵 $A$ 为 3 阶矩阵, 若已知 $|\boldsymbol{A}|=-3$, 则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
设 $A =\left(\begin{array}{lll}
a & & \\
& b & \\
& & a
\end{array}\right), P =\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)$, 计算 $P ^2 A P ^{-1}=$
三、解答题 （ 共 32 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的逆矩阵.
设矩阵 $\boldsymbol{A} 、 \boldsymbol{B} 、 \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 且 $\boldsymbol{B}$ 可逆, 证明：矩阵 $\mathrm{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathrm{A}$ 的列向量组等价。
设 $n$ 阶三对角矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 2 a & 1 \\
& & & a^2 & 2 a
\end{array}\right),
$$
其中 $a \neq 0$. 请用初等变换法求 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 4 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
1 & -3 & 1 \\
4 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$
$$
\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^3, \cdots, \boldsymbol{A}^k$;
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^4$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{50}$ 和 $\boldsymbol{A}^{51}$;
设 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}$, 求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
(1) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 为对称阵, 证明 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是对称阵;
(2) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶对称阵,证明 $\boldsymbol{A B}$ 是对称阵的充要条件是 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$.
求逆矩阵 $$
\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
$$
求逆矩阵 $$\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & 0 \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & a_n
\end{array}\right)\left(a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0\right) $$
设 $\boldsymbol{J}$ 是元素全为 1 的 $n(\geqslant 2)$ 阶方阵, 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{J}$ 是可逆矩阵, 且 $(\boldsymbol{E}-$ $\boldsymbol{J})^{-1}=\boldsymbol{E}-\frac{1}{n-1} \boldsymbol{J}$, 这里 $\boldsymbol{E}$ 是与 $\boldsymbol{J}$ 同阶的单位矩阵.
设 $\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, 并且其逆矩阵 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}$ $=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}$.
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$, 求 $\left|(2 \boldsymbol{A})^{-1}-5 \boldsymbol{A}^*\right|$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right), A B=A+2 B$, 求 $\boldsymbol{B}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$, 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{B}$, 求 $\boldsymbol{B}$.
设 $\boldsymbol{A}=\operatorname{diag}(1,-2,1), \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-8 \boldsymbol{E}$, 求 $\boldsymbol{B}$.
已知 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵 $\boldsymbol{A}^*=\operatorname{diag}(1,1,1,8)$, 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$, 求 $\boldsymbol{B}$.
设 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\ 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{11}$.
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{lll}-1 & & \\ & 1 & \\ & & 5\end{array}\right)$,求 $\varphi(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^8\left(5 \boldsymbol{E}-6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2\right)$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 证明其伴随阵 $\boldsymbol{A}^*$ 也可逆, 且 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^*$.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵为 $\boldsymbol{A}^*$, 证明:
（1）若 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ；
（2）$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$.
计算 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ 。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2\end{array}\right)$, 求 $\left|\boldsymbol{A}^8\right|$ 及 $\boldsymbol{A}^4$.