单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为可逆矩阵, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\right.$ $\left.\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
设 $\mathbf{A}$ 是 $5 \times 6$ 矩阵, 而且 $\mathbf{A}$ 的行向量线性无关, 则
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量线性无关;
$\text{B.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的行向量线性无关;
$\text{C.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的任意四个列向量线性无关;
$\text{D.}$ 线性方程组 $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ 有唯一解.
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $r ( A )=r < n$, 那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关.
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关.
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组.
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示.
设 $n$ 维列向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m(m < n)$ 线性无关, 则 $n$ 维列向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性无关的充分必要条件为
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 可由向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性表示.
$\text{B.}$ 向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 可由向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 线性表示.
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价.
$\text{D.}$ 矩阵 $A =\left( \alpha _1, \cdots, \alpha _m\right)$ 与矩阵 $B =\left( \beta _1, \cdots, \beta _m\right)$ 等价.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$ 与线 $\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}-\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$
$\text{A.}$ 相交于一点.
$\text{B.}$ 重合.
$\text{C.}$ 平行但不重合.
$\text{D.}$ 异面.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维向量空间 $R ^3$ 的一组基, 则由基 $\alpha _1, \frac{1}{2} \alpha _2, \frac{1}{3} \alpha _3$ 到基 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
设 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵,且 $m \neq n$. 若 $A A ^{ T }= E _n$, 则 ( )
$\text{A.}$ $A x=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ $A x = b$ 必有解.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 必有解.
$\text{D.}$ 若 $m$ 维列向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 线性无关, 则 $A \beta _1, A \beta _2, \cdots, A \beta _s$ 必线性无关.
已知向量 $\alpha_1=(\lambda, 1,1)^T, \alpha_2=(1, \lambda, 1)^T, \alpha_3=(1,1, \lambda)^T, \alpha_4=\left(1, \lambda, \lambda^2\right)^T$, 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）。
$\text{A.}$ $\{0,1\}$;
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$;
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-2\}$;
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1\}$.
设有 $n$ 元非齐次方程 $A x = b$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 只有零解,则 $A x = b$ 有惟一解
$\text{B.}$ $A x = b$ 有惟一解的充要条件是 $R( A )=n$
$\text{C.}$ $A x = b$ 有两个不同的解, 则 $A x = 0$ 有无限多解
$\text{D.}$ $A x = b$ 有两个不同的解，则 $A x = 0$ 的基础解系中含有两个以上向量
设 3 阶矩阵 $Q =\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right|, P$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $P Q = O$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $t=6$ 时, $R( P )=1$
$\text{B.}$ $t=6$ 时, $R( P )=2$
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=1$
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $n$ 维向量, $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 且 $\alpha_{1+} \alpha_2+\alpha_4=0$, 在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, 关于 $x, y, z$ 的方程组 $x \alpha_1+y \alpha_2+z \alpha_3=\alpha_4$ 的几何图形是
$\text{A.}$ 过原点的一个平面
$\text{B.}$ 过原点的一条直线
$\text{C.}$ 不过原点的一个平面
$\text{D.}$ 不过原点的一条直线
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$.
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$.
已知向量
$$
\alpha_1=(1,-3,4), \alpha_2=(1,-2,2), \alpha_3=(1,-2,4), \alpha_4=(1,0,-2), \alpha_5=(0,1,1)
$$
则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(0,2,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2=(1,3,2)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3=(0,-1,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\beta}_2=(1,0,0)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\beta}_3=(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ 都是 $\mathbf{R}^3$ 的基, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵是
$$
\text { 设 } \alpha_1=(1,2,-1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(1,1,0,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(2,1,1, a)^{\mathrm{T}} \text { ， }
$$
若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 则 $a=$
若向量 $\beta=(1,2, k)$ 可由向量组 $a_1=(-1,2,7), a_2=(2,1,1), a_3=(1,-1,-4)$ 线性表 示, 则 $k=$.
已知 $R ^3$ 的两组基分别为 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,0,-1)^T, \alpha_3=(1,0,1)^T$ 和 $\beta_1=(1,2,1)^T$, $\beta_2=(2,3,4)^T, \beta_3=(3,4,3)^T$, 则基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵
解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ，求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ，使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+4 x_2 x_3$, 利用正交变换法, 把二次型 $f$ 化为标准形, 并写出正交阵。
设 $\mathrm{n}$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关, 后 $n-1$ 个列 向量线性无关, $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$, (I) 证明: 方程组 $A x=\beta$ 必有无穷多个解; (II) 若 $\left(k_1, \cdots, k_n\right)^T$ 是 $A x=\beta$ 的任意一个解, 则必有 $k_n=1$.
设向量组: $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}-9 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}2 \\ -8 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ -7 \\ 3\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4 \\ -6\end{array}\right]$, 求此向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余的向量用该 极大线性无关组表示.
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 证明 $\alpha_1+2 \alpha_2, 2 \alpha_2+3 \alpha_3, 3 \alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关.
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的单特征值, 求证: 矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的线 性无关的特征向量的个数恰为 1 个.
设向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_s(s>1)$ 是齐次方程组 $A \boldsymbol{X}=0$ 的一个基础解系, 证明:
$
\beta_1=a_2+a_3+\cdots+a_s, \beta_2=a_1+a_3+\cdots+a_s, \cdots, \beta_s=a_1+a_2+\cdots+a_{s-1}
$
也是该方程组的一个基础解系。
若 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关， $\alpha+2 \beta, 2 \beta+k \gamma, \beta+3 \gamma$ 线性相 关，求 $k$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.
设 $\mathrm{n}$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关， $A$ 为 $\mathrm{n}$ 阶方阵，证明: 向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关。
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^T$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明:
(1) $A^2=A$ 的充要条件是 $\xi^T \xi=1$ ；
(2) 当 $\xi^T \xi=1$ 时， $A$ 是不可逆矩阵.
分别求下列两个向量的内积, 并判断是否正交, 若没有正交, 请利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.
(1) $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$
(2) $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$, 利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.
设 $R^3$ 的两个基 I 和 II 为
I: $\quad \alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) ;$ II: $\quad \beta_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 1\end{array}\right)$
（1）求由基 I 到基 II 的过渡矩阵;
（2）设向量 $\gamma$ 在基 I 中的坐标为 $-2,1,2$, 求 $\gamma$ 在基 II 中的坐标.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $R^3$ 的一组基, $\beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=\alpha_1+s \alpha_3$, 其中 $t, s$ 为参数, 证明: 当 $t+s \neq 0$ 时, $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也是三维向量空间 $R^3$ 的一组基.
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]^{ T }, \alpha_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & -1\end{array}\right]^{ T }$,
$$
\alpha_3=\left[\begin{array}{llll}
1 & a & 0 & 1
\end{array}\right]^{T}, \alpha_4=\left[\begin{array}{llll}
2 & 7 & 3 & a-2
\end{array}\right]^{T},
$$
$\beta=\left[\begin{array}{llll}3 & 8 & 4 & b-1\end{array}\right]^{ T }$, 讨论 $a, b$ 为何值时 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 唯一线性表示; 能线性表示但不唯一; 不能线性表示.
设有向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}7 \\ 0 \\ 14 \\ 3\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 6 \\ 2\end{array}\right)$,
(1) 求该向量组的秩;
(2) 求该向量组的一个极大无关组, 并把其余向量分别用求得的极大无关组线性表出.
设向量组 $A: a_1, a_2, a_3$ 线性无关, 向量 $b_1$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 向量 $b_2$ 不能由向量组 $A$ 线性表示, $k$ 为任意常数. 问:
(1) 向量组 $a_1, a_2, a_3, k b_1+b_2$ 是否线性相关, 为什么?
(2) 向量组 $a _1, a _2, a _3, b _1+k b _2$ 是否线性相关, 为什么?
设向量组 $A: a_1, a_2$, 向量组 $B: b _1, b _2$, 其中
$$
a_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), a_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right) ; b_1=\left(\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
7 \\
14
\end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
5 \\
10
\end{array}\right),
$$
（1）证明向量组 $A$ 与 $B$ 等价; (2) 求向量组 $A$ 与 $B$ 的相互线性表示的表示式.
设 $3$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), B$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $A B = O$. 求 $t$ 的值.
已知方程组
$$
I:\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的一个基础解系为
$$
\left(\begin{array}{c}
b_{11} \\
b_{12} \\
\vdots \\
b_{1,2 n}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
b_{21} \\
b_{22} \\
\vdots \\
b_{2,2 n}
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
b_{n 1} \\
b_{n 2} \\
\vdots \\
b_{n, 2 n}
\end{array}\right),
$$
试写出方程组
$$
\text { II : }\left\{\begin{array}{c}
b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0, \\
b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的通解，并说明理由。
设 $R ^3$ 中两个基 $a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$, 其中
$$
a_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), a_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), a_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) ; b_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), b_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right),
$$
（1）求从基 $a_1, a_2, a_3$ 到基 $b_1, b_2, b_3$ 的过渡矩阵;
(2) 设向量 $\beta$ 在基 $a _1, a _2, a _3$ 中的坐标为 $(3,1,2)^{ T }$, 求 $\beta$ 在基 $b _1, b _2, b _3$ 中的坐标.