单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足关系式 $A B C = E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有
$\text{A.}$ $A C B = E$.
$\text{B.}$ $C B A = E$.
$\text{C.}$ $B A C = E$.
$\text{D.}$ $B C A = E$.
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left| A ^*\right|=$
$\text{A.}$ $| A |^{n-1}$.
$\text{B.}$ $| A |$.
$\text{C.}$ $| A |^n$.
$\text{D.}$ $| A |^{-1}$.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2), A ^*$ 足矩阵 $A$ 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^{*}=| A |^{n-1} A$.
$\text{B.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+1} A$.
$\text{C.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n-2} A$.
$\text{D.}$ $\left( A ^*\right)^*=| A |^{n+2} A$.
设 $A$ 是 3 阶方阵, 将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$, 再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$, 则满足 $A Q = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
16. 设
$$
A =\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}
a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\
a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\
a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\
a_{44} & a_{43} & a_{42} & a_{41}
\end{array}\right), P _1=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
$P _2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 其中 $A$ 可逆, 则 $B ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A ^{-1} P _1 P _2$.
$\text{B.}$ $P _1 A ^{-1} P _2$.
$\text{C.}$ $P _1 P _2 A ^{-1}$.
$\text{D.}$ $P _2 A ^{-1} P _1$.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 矩阵 $B = A C$ 的秩为 $r_1$,则
$\text{A.}$ $r>r_1$.
$\text{B.}$ $r < r_1$.
$\text{C.}$ $r=r_1$.
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $C$ 而定.
设 $A , B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵, 且 $A B = O$, 则 $A$ 和 $B$ 的秩
$\text{A.}$ 必有一个等于零.
$\text{B.}$ 都小丁 $n$.
$\text{C.}$ 一个小于 $n$, 一个等于 $n$.
$\text{D.}$ 都等于 $n$.
设 $n(n \geqslant 3)$ 阶矩阵
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$
若矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$.
$\text{C.}$ -1 .
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$.
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵, 记 $r ( X )$ 为矩阵 $X$ 的秩, $( X \quad Y )$ 表示分块矩阵, 则
$\text{A.}$ $r ( A \quad A B )= r ( A )$.
$\text{B.}$ $r ( A \quad B A )= r ( A )$.
$\text{C.}$ $r ( A \quad B )=\max \{ r ( A ), r ( B )\}$.
$\text{D.}$ $r \left(\begin{array}{ll} A & B \end{array}\right)= r \left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$.
已知 $Q =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right), P \neq O$, 使 $P Q = O$ 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $t=6$ 时, $r( P )=1$.
$\text{B.}$ 当 $t=6$ 时, $r(P)=2$.
$\text{C.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=1$.
$\text{D.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=2$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), A^*$ 为方阵 $A$ 的伴随矩阵, 且 $A^* x=0$ 只有零解, 则
$\text{A.}$ $x=-4$;
$\text{B.}$ $x=6$;
$\text{C.}$ $x=-4$ 或 $x=6$;
$\text{D.}$ $x \neq-4$ 且 $x \neq 6$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则()
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $| A |=1$, 则 $\left( A ^*\right)^*=(\quad)$.
$\text{A.}$ $A ^{-1}$
$\text{B.}$ $- A$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $A ^2$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $A$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$.则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ -2 .
$\text{D.}$ -3 .
设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(C)=r(A B C)+2 n$, 给出下列四个结论:
(2) $r(A B C)+n=r(A B)+r(C) ;$
(2) $r(A B)+n=r(A)+r(B)$;
(3) $r(A)=r(B)=r(C)=n$;
(3) $r(A B)=r(B C)=n$ ，其中正确的选项是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设 $A, B$ 是三阶可逆矩阵, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 若 $|A|=2$, 则
$$
\left(A^* B^{-1} A\right)^{-1}=
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} A^{-1} B A$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{8} A^{-1} B A$.
$\text{C.}$ $2 A^{-1} B A$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} A B A^{-1}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A^T B=$
设矩阵 $A$ 为 3 阶矩阵, 若已知 $|\boldsymbol{A}|=-3$, 则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
求$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & -5 \\
4 & 7 & 1
\end{array}\right)$ 得秩。
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $(A-3 E)^{-1}\left(A^2-9 E\right)=$
设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right], B=(E-A)(E+A)^{-1}$, 则 $(B+E)^{-1}=$
设 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right), f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{2 n+1}$, 则 $f( A )=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的逆矩阵.
设矩阵 $\boldsymbol{A} 、 \boldsymbol{B} 、 \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 且 $\boldsymbol{B}$ 可逆, 证明：矩阵 $\mathrm{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathrm{A}$ 的列向量组等价。
设 $n$ 阶三对角矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 2 a & 1 \\
& & & a^2 & 2 a
\end{array}\right),
$$
其中 $a \neq 0$. 请用初等变换法求 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 4 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
1 & -3 & 1 \\
4 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$
$$
\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$.
已知两个线性变换
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } = 2 y _ { 1 } + y _ { 3 } , } \\
{ x _ { 2 } = - 2 y _ { 1 } + 3 y _ { 2 } + 2 y _ { 3 } } \\
{ x _ { 3 } = 4 y _ { 1 } + y _ { 2 } + 5 y _ { 3 } , }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
y_1=-3 z_1+z_2, \\
y_2=2 z_1+z_3, \\
y_3=-3 z_3,
\end{array}\right.\right.
$$
求从 $z_1, z_2, z_3$ 到 $x_1, x_2, x_3$ 的线性变换.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^3, \cdots, \boldsymbol{A}^k$;
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^4$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{50}$ 和 $\boldsymbol{A}^{51}$;
设 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}$, 求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
(1) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 为对称阵, 证明 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是对称阵;
(2) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶对称阵,证明 $\boldsymbol{A B}$ 是对称阵的充要条件是 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$.
求逆矩阵 $$
\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
$$
求逆矩阵 $$\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & 0 \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & a_n
\end{array}\right)\left(a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0\right) $$
设 $\boldsymbol{J}$ 是元素全为 1 的 $n(\geqslant 2)$ 阶方阵, 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{J}$ 是可逆矩阵, 且 $(\boldsymbol{E}-$ $\boldsymbol{J})^{-1}=\boldsymbol{E}-\frac{1}{n-1} \boldsymbol{J}$, 这里 $\boldsymbol{E}$ 是与 $\boldsymbol{J}$ 同阶的单位矩阵.
设 $\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, 并且其逆矩阵 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}$ $=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}$.
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.