单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
$\text{A.}$ $a>1$.
$\text{B.}$ $a < -2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$.
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 其中 $P =$ $\left(e_1, e_2, e_3\right)$, 若 $Q=\left( e _1,- e _3, e _2\right)$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵, $E$ 是 3 阶单位矩阵. 若 $A ^2+ A =2 E$, 且 $| A |=4$, 则二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$, 则在实数域上与 $A$ 合同矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$.
设 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同，且相似。
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同, 但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭球面.
$\text{D.}$ 柱面.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 则 $f$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$;
(2) $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{A.}$ (1)是 , (2)不是
$\text{B.}$ (1)是 , (2)是
$\text{C.}$ (1)不是 , (2)是
$\text{D.}$ (1)不是 , (2)不是
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）
$\text{A.}$ $A ， A ^2$ 均能相似对角化.
$\text{B.}$ $A$ 不能相似对角化， $A ^2$ 能相似对角化.
$\text{C.}$ $A$ 能相似对角化， $A ^2$ 不能相似对角化.
$\text{D.}$ $A ， A ^2$ 均不能相似对角化.
设二次型 $f(x, y, z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$, 其对应的对称矩阵为 $A$. 在自然基 $e_1, e_2$, $e _3$ 下, 二次曲面 $S$ 的曲面方程为 $f(x, y, z)=3$ 。该曲面方程在正交变换 $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)= Q \left(\begin{array}{l}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ 下化为 $\lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2=3$, 其中 $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \lambda_3$. 该变换将 $e _1, e _2, e _3$ 分别变为 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$. 下列命题中,正确的是（）
$\text{A.}$ $\left( e _1, e _2, e _3\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) Q$.
$\text{B.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{ T }$.
$\text{C.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{ T }$.
$\text{D.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{ T }$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+a x_3^2+4 x_1 x_2-6 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 的秩为 2 , 求 $a$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $x = P y$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$, 则 $a=$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=t\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2$ 为正定二次型, 则参数 $t$ 的取值范围为
已知实二次型 $f\left(x_1 x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_2 x_3$ 正定, 则常数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in M_n(\mathbb{R}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 相似.
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵
证明: $\left|\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{A}+\cdots+\boldsymbol{A}^{n-1}\right|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1 c_2 \cdots c_n$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x =a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$, 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 , 特征值之积为 -12 .
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形, 并写出所用的正交变换.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用配方法化二次型为标准形。
利用配方法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3-3 x_2 x_3$ 为标准形.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 则 $f$ 的正惯性指数为
已知 $A$ 是三阶可逆矩阵, 证明 $A ^{ T } A$ 是正定矩阵.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$, 其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}5 & -4 & 2 \\ -4 & 5 & -2 \\ 2 & -2 & 2\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)$, 请:
(1) 求方阵 $A$ 的特征值与特征向量；
(2) 求一个正交变换 $x=P y$ 把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化成标准形, 并写出标准形.
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.
设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足
$$
A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha
$$
( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似;
(II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$;
(III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换.
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_3$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $y_1^2+y_2^2+a y_3^2+2 y_1 y_2$, 求 $a$ 与矩阵 $Q$.
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_2^2-2 x_1 x_2+8 x_1 x_3-2 x_2 x_3$,
(1) 用正交变换 $X=P Y$ 将二次型化为标准形(求出正交矩阵 $P$ );
(2) 说明方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在几何上表示什么图形.
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$, 求正交变换 $x=Q y$,将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形, 并写出正交变换 $x=Q y$ 。
写出下列二次型的矩阵，并求它们的秩.
(1) $f_1=3 x_1^2+2 x_2^2-x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_2 x_3$.
(2) $f_2=x_1^2-2 x_1 x_3$.
(3) $f_4=\left[\begin{array}{lll}x_1 & x_2 & x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right]$.
二次型
$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2 \\
& g(u, v)=6 u^2+2 v^2
\end{aligned}
$$
试求可逆矩阵 $C$ ，使得 $f$ 的二次型矩阵 $A$ 与 $g$ 的二次型矩阵 $B$ 合同，即 $B=C^{ T } A C$.
求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. $f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2$.
求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形. $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-2 x_1 x_4-2 x_2 x_3+2 x_2 x_4+2 x_3 x_4$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$ ，记
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right), \quad \beta =\left(\begin{array}{l}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^{ T }+\beta \beta^{ T }$ ；
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.