单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{x-y^2}$ 满足条件 $y(2)=0$ 的特解是
$\text{A.}$ $x= e ^y+y^2+2 y+2$.
$\text{B.}$ $x= e ^y+y^2+2 y$.
$\text{C.}$ $x=y^2+2 y+2$.
$\text{D.}$ $x= e ^y+1$.
设 $C_1, C_2$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_1 e ^{2 x}+C_2 e ^{-x}-2 x e ^{-x}$ ， 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^{-x}$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^{-x} .$
已知函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha$ ，且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量,$y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$.
$\text{D.}$ $\pi e ^{\frac{\pi}{4}}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y= e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{B.}$ $a x\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{C.}$ $x\left(a e ^{\lambda x}+b e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x, \quad\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数 $)$ 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \text {. }$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_0^1 f(t x) d t+2 \int_0^x f(t) d t=x f(x)+x^3$ ，则可得
$\text{A.}$ $f(x)=C x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right),(C$ 为任意常数).
$\text{B.}$ $ f(x)=x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}C x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$,( $C$ 为任意常数).
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\
0, x=0
\end{array}\right.$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\cos ^2 x$ 的特解形式，其中 $a, b, c$ 为某些常数
$\text{A.}$ $a \cos ^2 x$.
$\text{B.}$ $a \sin ^2 x$.
$\text{C.}$ $x(a+b \cos 2 x+c \sin 2 x)$.
$\text{D.}$ $a+x(b \cos 2 x+c \sin 2 x) .$
已知 $y_1=x^2 e ^x, y_2= e ^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解, 则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$.
. 微分方程 $y^{\prime \prime}-y= e ^x+1$ 的一个特解应具有形式 (式中 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e ^x+b$.
$\text{B.}$ $a x e ^x+b$.
$\text{C.}$ $a e ^x+b x$.
$\text{D.}$ $a x e ^x+bx$.
在下列微分方程中, 以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$.
具有特解 $y_1= e ^{-x}, y_2=2 x e ^{-x}, y_3=3 e ^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$.
下列方程中， ________ 是齐次方程。
$\text{A.}$ $\frac{d y}{y^2-2 x y}=\frac{d x}{x^2-x y+y^2}$
$\text{B.}$ $y^{\prime}=\frac{1}{x-y^2}$
$\text{C.}$ $(2 x-y+3) d y=(x-2 y+1) d x$
$\text{D.}$ $\frac{x}{2+y} d y=\frac{y}{2+x} d x$
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
一阶微分方程 $\left(x^2+1\right) y^{\prime}+2 x y=4 x^2$ 的通解为 $y=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 的通解为
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\frac{ d y}{d x}=2 x y$ 的通解.
求 $\frac{ d y}{d x}=1+x+y^2+x y^2$ 的通解.
求 $y y^{\prime \prime}=y^{\prime 2}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=1$ 的特解.
求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解.
设 $y=f(x)$ 是
$$
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}
$$
的解，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，计算 $\int_0^1 d y \int_y^1 f\left(x^2\right) d x$.
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数, 且已知 $f(0)=0$, 并满足等式 $f(x)+2 f^{\prime}(\pi+x)=\sin 3 x$, 求 $f(x)$.
求 $y d x=(1+x \ln y) x d y(y>0)$ 的通解．
求方程 $\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x+1}=(x+1)^{\frac{3}{2}}$ 的通解．
$\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ．
解方程 $\frac{d y}{d x}+y=e^{-x}$ ；
$x y^{\prime}+y=x^2+3 x+2$ ；
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$\frac{d y}{d x}+y \cot x=5 e^{\cos x},\left.\quad y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ；
验证 $y_1=\cos w x$ 及 $y_2=\sin w x$ 都是 $y^{\prime \prime}+w^2 y=0$ 方程的解，并写出该方程的通解．
验证 $y_1=e^{x^2}$ 及 $y_2=x e^{x^2}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^2-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．
验证 $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_1, \quad C_2\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0$ 的通解．
求方程 $\frac{d^2 s}{d t^2}+2 \frac{d s}{d t}+s=0$ 满足初始条件 $\left.s\right|_{t=0}=4,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=-2$ 的特解．
$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ；
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\sin 2 x$