单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{x-y^2}$ 满足条件 $y(2)=0$ 的特解是
$\text{A.}$ $x= e ^y+y^2+2 y+2$.
$\text{B.}$ $x= e ^y+y^2+2 y$.
$\text{C.}$ $x=y^2+2 y+2$.
$\text{D.}$ $x= e ^y+1$.
设 $C_1, C_2$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_1 e ^{2 x}+C_2 e ^{-x}-2 x e ^{-x}$ ， 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^{-x}$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^{-x} .$
已知函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha$ ，且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量,$y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$.
$\text{D.}$ $\pi e ^{\frac{\pi}{4}}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y= e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{B.}$ $a x\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{C.}$ $x\left(a e ^{\lambda x}+b e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x, \quad\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数 $)$ 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \text {. }$