单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\Omega$ 是有由曲面 $z=x^2+y^2 ， \quad y=x ， \quad y=0 ， \quad z=1$ 在第一卦限所围成的区域， $f(x, y, z)$在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} d x \int_{x^2+y^2}^1 f(x, y, z) d z$
$\text{B.}$ $\quad \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_y^{\sqrt{1-y^2}} d y \int_{x^2+y^2}^1 f(x, y, z) d z$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} d x \int_0^1 f(x, y, z) d z$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} d x \int_{x^2+y^2}^1 f(x, y, z) d z$
设空间区域 $\Omega_1: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq 0 ; \quad \Omega_2: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$, 则
$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega_1} x d V=4 \iiint_{\Omega_2} x d V$.
$\text{B.}$ $\iiint_{\Omega_1} y d V=4 \iiint_{\Omega_2} y d V$.
$\text{C.}$ $\iiint_{\Omega_1} z d V=4 \iiint_{\Omega_2} z d V$.
$\text{D.}$ $\iiint_{\Omega_1} x y z d V=4 \iiint_{\Omega_2} x y z d V$.
设区域 D 是圆 $x^2+y^2 \leq 4$ 的第二、三象限部分, 二重积分 $\iint_D x y d \sigma=$
$\text{A.}$ $2 \int_{-2}^0 d x \int_0^{\sqrt{4 x^2}} x y d y$
$\text{B.}$ $\int_{-2}^0 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-z^2}} x y d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
将累次积分 $I=\int_0^1 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$ 更换积分次序后为
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-x} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{1-x} d y \int_0^1 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-y} f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d y \int_0^1 f(x, y) d x$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 可写成
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
设 $f(x)$ 为连续函数，$F(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} d \sigma, I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_3=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right)^2 d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}$, 则 $\iint_D(x+|y|) d x d y=$
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} \sin ^3 x d x=$
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1\}$ ，计算 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} d \sigma=$
$\int_0^1 d y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) d x=$
设二重积分的积分区域 D 是由 $4 \leq x^2+y^2 \leq 9$ 围成, 则 $\iint_D d x d y=$.
求三重积分 $\iiint_V x y z d x d y d z$, 其中 $V$ 是由曲面 $x^2+y^2+z^2=$ 1 及 $x=0, y=0, z=0$ 所界区域。
$\int_0^2 d x \int_x^2 e ^{-y^2} d y$ ；
$\int_1^2 d x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} d y+\int_2^4 d x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} d y$ ．
解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 证明: $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(a+b-x) d x$
(2) 在 (1) 的条件下，若 $x=\frac{a+b}{2}$ 为 $f(x)$ 的对称轴证明: $\int_a^b x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i+j}{i^2+j^2}$解
求极限$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\int_1^{\frac{1}{n}} e^{x^2} d x+\int_1^{\frac{2}{n}} e^{x^2} d x+\cdots+\int_1^{\frac{n-1}{n}} e^{x^2} d x\right] $
求极限$I= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{(n+i+1)^2}+\frac{1}{(n+i+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+i+i)^2}\right)$
计算 $\iint_D\left\lfloor x^2+y^2\right\rfloor d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant n, x>0, y>0\right\}$.
求 $\int_0^1 d y \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{3-y} f(x, y) d x$
计算二重积分 $\iiint_{[0,1] \times[0.1]}\left|x^2+y^2-1\right| d x d y$.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由三个坐标面及平面 $x+2 y+z=1$ 所围成。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x y^2 z^3 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由 $z=x y, y=x, x=1, z=0$ 所围成。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 所围成的空间闭区域.
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域, 则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+$ 3z) $d x d y d z=$
求由方程 $\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)^2+\frac{z^4}{c^4}=z$ 所确定的曲面 $\Sigma$ 所围空间立体 $\Omega$ 的体积, 其中 $a, b, c$ 为常数
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) d V, \Omega: \sqrt{x^2+y^2} \leqslant z \leqslant 2$
求 $\iiint \int_{\Omega}\left(x^2+y^2+z\right) d V$, 其中 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^2=2 z\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=4$ 围成的立体。
计算 $\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2} d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 是曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$所围立体。
计算 $\iiint_{\Omega} e^{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x d y d z, \Omega: x^2+y^2+z^2 \leqslant 1$
某物体所在的空间区域为 $\Omega: x^2+y^2+2 z^2 \leqslant x+y+2 z$, 密度函数为 $x^2+y^2+z^2$, 求质量
$$
M=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z
$$
计算二重积分 $\iint_D y d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2, y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域。
计算 $\iint_D(x+y) d x d y$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant x+y+1$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2\left(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}\right) \quad(a>0, a \neq 1)$.
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{ d V}{(1+x+y+z)^3}$, 其中 $\Omega$ 是平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面围成的空间闭区域。
改换下列二次积分的积分次序：
（1） $\int_0^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$ ．
（2） $\int_0^\pi d x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) d y$
计算 $I=\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) d \sigma, D: x^2+y^2 \leqslant R^2$ ；
计算 $I=\iint_D \sin (x-y) d \sigma, D: 0 \leqslant x \leqslant \pi, 0 \leqslant y \leqslant \pi$ ；