单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$.
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在.
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续, 偏导数存在.
$\text{B.}$ 连续, 偏导数不存在.
$\text{C.}$ 不连续, 偏导数存在.
$\text{D.}$ 不连续, 偏导数不存在.
设 $f(x, y)= e ^{\sqrt{x^2+y^4}}$, 则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
设有三元方程 $x y-z \ln y+ e ^{x z}=1$, 根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$.
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$.
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数, 满足 $f(0)>0, g(0) < 0$, 且 $f^{\prime}(0)=$ $g^{\prime}(0)=0$, 则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续的 ( ) 条件.
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 既非充分也非必要
已知 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y}$, 则 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{x}{x y^3+1}$
$\text{B.}$ $\frac{y}{x y^3+1}$
$\text{C.}$ $\frac{x y}{x^2 y^2+1}$
$\text{D.}$ $\frac{x y}{x y^3+1}$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$, 则根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设 $f(x, y, z)$ 是 $k$ 次齐次函数, 即 $f(t x, t y, t z)=t^k f(x, y, z), \lambda$ 为某一常数, 则结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=k^\lambda f(x, y, z)$
$\text{B.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=$ $\lambda^k f(x, y, z)$
$\text{C.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=k f(x, y, z)$
$\text{D.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=$ $f(x, y, z)$
设函数 $z=f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$, 则 $z=f(x, y)$ 在点 $P(0,0)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 不能确定连续性
$\text{D.}$ 不存在
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，则下列说法中，正确的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在．
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续，$f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=2$ ，则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ -1 ．
$\text{D.}$ -3 ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 为 $z=f(x, y)$ 的间断点，则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处无定义
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的极限不存在
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可能有定义，也可能极限存在
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，有极限，但极限不等于 $f\left(x_0, y_0\right)$
设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数均存在是 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可微的
$\text{A.}$ 必要而非充分条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)]}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)]}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x(x, 0)-f_x(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y(0, y)-f_y(0,0)\right]=0$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x=t^3+2 t+1, \int_0^{y+t} e ^{-u^2} d u=t$, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}=$
设函数 $z=\arctan (x y)$, 则 $d z=$
已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta=-2 p^2$, 而市场对该商品的最大需求量为 1 (万件), 则需求函数为
二元函数 $z=\arctan (x-y)+\sqrt{x^2 y}$ 的定义域是
设函数 $z=\arcsin (x y)$, 则 $d z=$.
计算 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x y) \cdot\left(x^2+e^y+1\right)}{1-\sqrt{1+x y}}$.
设 $z^2-2 x y z=1$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
求椭球面 $4 x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面。
设 $f(x, y, z)=\sqrt[z]{\frac{x}{y}}$ ，则 $d f(1,1,1)=$
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，证明: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为 $x, y$ 件时, 总成本为 $C(x, y)=100+2 x+3 y+0.01\left(x^2+x y+y^2\right)$ （元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin x^2 y}{(\cos x-1) \arcsin y}$ 。
求圆柱螺旋线 $x=R \cos t, y=R \sin t, z=k t$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 对应点处的切线方程和法平面方程.
求曲线 $x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0$ 在点 $P(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程.
求球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程。
求旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2+z^2=45, \\ x^2+2 y^2=z\end{array}\right.$ 在点 $(-2,1,6)$ 处的切线和法平面方程.
确定正数 $\sigma$ 使曲面 $x y z=\sigma$ 与球面 $x^2+y^2+z^2$ $=a^2$ 在点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处相切.