单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-x-2 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 x-3 < 0\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $[-2,1]$
$\text{B.}$ $\left[-1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1]$
$\left(2 x-\frac{1}{x^2}\right)^7$ 的展开式中 $\frac{1}{x^2}$ 项的系数是
$\text{A.}$ 672
$\text{B.}$ -420
$\text{C.}$ 84
$\text{D.}$ -560
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $\frac{a_7}{a_5}=\frac{12}{13}$, 则 $\frac{S_{13}}{S_9}=$
$\text{A.}$ $\frac{9}{13}$
$\text{B.}$ $\frac{12}{13}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示, 则 $E(2 X+1)=$
$\text{A.}$ $\frac{11}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{11}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{14}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{22}{3}$
已知函数 $f(x)=\log _2\left(x^2-a x\right), a \in \mathbf{R}$, 则 " $a \leq 2$ " 是 "函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增" 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 的图象在区间 $(0,1)$ 上恰有一个对称中心, 则 $\omega$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}\right]$
若某圆台有内切球 (与圆台的上下底面及每条母线均相切的球), 且母线与底面所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$, 则此圆合与其内切球的体积之比为
$\text{A.}$ $\frac{7}{4}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
设函数 $f(x)=a(x-1)^2-1, g(x)=\cos \frac{\pi x}{2}-2 a x$, 若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上存在零点, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a \leq 2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < a \leq 1$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} < a \leq 2$
$\text{D.}$ $1 < a \leq 2$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知正实数 $a, b, c$ 满足 $2^a=5^b=10^c$, 则
$\text{A.}$ $b+c=a$
$\text{B.}$ $a>b>c$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
$\text{D.}$ $a+4 b \geq 9 c$
若直线 $y=k x(k \in \mathbf{R})$ 与圆 $C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 交于不同的两点 $A 、 B, O$ 为坐标原点, 则
$\text{A.}$ 当 $k=2$ 时, $|A B|=\frac{4}{5} \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$ 的取值范围为 $[-1,1]$
$\text{C.}$ $|O A| \cdot|O B|=1$
$\text{D.}$ 线段 $A B$ 中点的轨迹长度为 $\sqrt{2} \pi$
若函数 $f(\cos x)=1-\cos n x, n \in \mathbf{Z}$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $n=2$, 则函数 $f(x)$ 的最大值为 2
$\text{B.}$ 若 $n=3$, 则函数 $f(x)$ 为奇函数
$\text{C.}$ 存在 $n \in \mathbf{Z}$, 使得 $f(\sin x)=1-\sin n x$
$\text{D.}$ 若 $f(\sin x)+f(\cos x)=2$, 则 $n=4 k+2, k \in \mathbf{Z}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个单位向量, 若 $(3 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 夹角的余弦值为
若复数 $z$ 满足 $z+\bar{z}=2, z \cdot \bar{z}=2$, 则 $|z-2 \bar{z}|=$
如图, 设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$, 过 $F$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支交于 $A, B$ 两点, 若 $\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{F B}$, 则双曲线 $C$ 的浙近线方程为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知三棱锥 $A-B C D, A D \perp$ 底面 $B C D, B C \perp C D, A D=B C=C D=2$,点 $P$ 是 $A D$ 的中点, 点 $Q$ 为线段 $B C$ 上一动点, 点 $M$ 在线段 $D Q$ 上.
(1) 若 $P M / /$ 平面 $A B C$, 求证: $M$ 为 $D Q$ 的中点;
(2) 若 $Q$ 为 $B C$ 的中点, 求直线 $D Q$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 满足 $\cos B=\frac{a-c}{2 c}$.
(1) 若 $A=\frac{\pi}{3}$, 求 $B$;
(2) 若 $\triangle A B C$ 是锐角三角形, 且 $c=4$, 求 $b$ 的取值范围.
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $e=\frac{1}{2}$, 左、右顶点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, $M$ 为线段 $O A$ 的中点, $P$ 为椭圆上动点, 且 $\triangle M P B$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$.
(1) 求椭圆 $E$ 的方程;
(2) 延长 $P M$ 交椭圆于 $Q$, 若 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{B Q}=6$, 求直线 $P Q$ 的方程.
已知函数 $f(x)=x \ln x(x>0)$.
(1) 设函数 $g(x)=f(x)+f(1-x)$, 求函数 $g(x)$ 的极值;
(2) 若不等式 $f(x) \geq a x+b(a, b \in \mathbf{R})$ 当且仅当在区间 $[\mathrm{e},+\infty)$ 上成立（其中 e 为自然对数的底数), 求 $a b$ 的最大值;
(3) 实数 $m, n$ 满足 $0 < m < n$, 求证: $\ln m+1 < \frac{f(n)-f(m)}{n-m} < \ln n+1$.
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中, 假设在一个混沌系统中, 用 $x_n$来表示系统在第 $n$ 个时刻的状态值, 且该系统下一时刻的状态值 $x_{n+1}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 已知初始状态值 $x_0 \in(0,1)$, 其中 $f(x)=a x^2-a x(a \in \mathbf{R})$, 这样每一时刻的状态值 $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$ 构成数列 $\left\{x_n\right\}(n \in \mathbf{N})$.
(1) 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 为等比数列, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $x_0=\frac{1}{2}, a=-1$, 证明:
(1) $1 < \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n} \leq 2$;
(2) $\sum_{i=0}^n x_i^2 \leq \frac{n+1}{2(n+2)}$.